Rozwiązanie
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania wyglądać będzie następująco:
Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta \(ABC\).
Z własności środkowych trójkąta równoramiennego wynika, że odcinek \(PC\) jest dwa razy dłuższy od odcinka \(PC_{1}\). Z treści zadania wynika, że \(PC_{1}=2cm\), zatem \(PC\) będzie miał długość \(2\cdot2cm=4cm\). Tym samym cały odcinek \(CC'\), który jest jednocześnie wysokością trójkąta równoramiennego, będzie miał długość:
$$h=2cm+4cm=6cm$$
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ABC\).
Znamy długość podstawy oraz wysokość trójkąta \(ABC\), zatem korzystając ze wzoru na pole trójkąta, możemy zapisać, że:
$$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot16\cdot6 \\
P_{ABC}=8\cdot6 \\
P_{ABC}=48[cm^2]$$
Krok 4. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów \(ABC\) i \(A_{1}B_{1}C_{1}\).
Kluczem do obliczenia pola trójkąta \(A_{1}B_{1}C_{1}\) jest dostrzeżenie, że jest to trójkąt podobny do trójkąta \(ABC\). Skąd to wiemy? Jeśli punkty \(A_{1}\) oraz \(B_{1}\) są środkami ramion trójkąta, to odcinek \(A_{1}B_{1}\) jest równoległy do podstawy \(AB\), a miara tego odcinka jest dwa razy krótsza od boku \(AB\). Analogicznie będzie z parą \(A_{1}C_{1}\) czy też \(B_{1}C_{1}\) - one też są równoległe i dwa razy mniejsze względem odpowiadających boków. To prowadzi nas do wniosku, że trójkąt \(A_{1}B_{1}C_{1}\) jest podobny do trójkąta \(ABC\) w skali \(k=\frac{1}{2}\).
Krok 5. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(A_{1}B_{1}C_{1}\).
Z własności trójkątów podobnych wiemy, że jeśli trójkąt jest podobny do drugiego w skali podobieństwa równej \(k\), to jego pole powierzchni będzie \(k^2\) razy większe. Skoro tak, to moglibyśmy zapisać, że:
$$P_{A_{1}B_{1}C_{1}}=k^2\cdot P_{ABC} \\
P_{A_{1}B_{1}C_{1}}=\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot48 \\
P_{A_{1}B_{1}C_{1}}=\frac{1}{4}\cdot48 \\
P_{A_{1}B_{1}C_{1}}=12$$
