Rozwiązanie
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeśli jest to trójkąt prostokątny równoramienny, to znaczy, że przyprostokątne \(AB\) oraz \(AC\) mają jednakową miarę. Wiemy też, że punkt \(D\) dzieli bok \(AB\) na dwie równe części, co sprawia, że sytuacja z treści zadania wygląda następująco:
Krok 2. Obliczenie długości boków trójkąta.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, możemy zapisać, że:
$$x^2+(2x)^2=25 \\
x^2+4x^2=25 \\
5x^2=25 \\
x^2=5 \\
x=\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-\sqrt{5}$$
Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, ponieważ długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(x=\sqrt{5}\).
Przyprostokątne oznaczyliśmy jako \(2x\), zatem każda z przyprostokątnych będzie mieć długość \(2\sqrt{5}\). Długość przeciwprostokątnej moglibyśmy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa, ale skoro jest to trójkąt prostokątny równoramienny, to znaczy, że jest to po prostu trójkąt o kątach \(45°, 45°, 90°\). Przeciwprostokątna w takich trójkątach jest \(\sqrt{2}\) razy większa od przyprostokątnych, zatem:
$$c=2\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{10}$$
Krok 3. Obliczenie obwodu trójkąta.
Znamy już długości wszystkich boków trójkąta, zatem obwód będzie równy:
$$Obw=2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+2\sqrt{10} \\
Obw=4\sqrt{5}+2\sqrt{10}$$
