W trójkącie prostokątnym kąty ostre mają miary alfa, beta, przeciwprostokątna ma długość 13

W trójkącie prostokątnym kąty ostre mają miary \(α,β\), przeciwprostokątna ma długość \(13\), oraz \(sinα+sinβ=\frac{17}{13}\) i \(sinα-sinβ=\frac{7}{13}\). Wynika z tego, że:

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Co prawda zbyt wielu danych nie mamy, ale narysujmy sobie trójkąt prostokątny z zaznaczonymi kątami, tak aby potem móc poprawnie odnosić się do poszczególnych funkcji trygonometrycznych:

matura z matematyki

Krok 2. Obliczenie wartości \(sinα\).
Z dwóch równań z treści zadania możemy ułożyć następujący układ:
$$\begin{cases}
sinα+sinβ=\frac{17}{13} \\
sinα-sinβ=\frac{7}{13}
\end{cases}$$

Dodając to równanie stronami otrzymamy:
$$2sinα=\frac{24}{13} \\
sinα=\frac{12}{13}$$

Krok 3. Obliczenie długości jednej przyprostokątnej.
Sinus jest funkcją trygonometryczną, która opisuje nam zależność między przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta \(α\) oraz przeciwprostokątną. W naszym przypadku \(sinα=\frac{a}{c}\). Skoro przeciwprostokątna ma długość \(c=13\), a \(sinα=\frac{12}{13}\), to znaczy że \(a=12\).

Krok 4. Obliczenie długości drugiej przyprostokątnej.
Wiemy już, że w tym trójkącie są boki długości \(12\) i \(13\), zatem trzeci bok (drugą przyprostokątną oznaczoną jako \(b\)) obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$12^2+b^2=c^2 \\
144+b^2=169 \\
b^2=25 \\
b=5 \quad\lor\quad b=-5$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(b=5\).

Krok 5. Wyznaczenie wartości tangensa.
Znamy miary wszystkich boków trójkąta, zatem możemy bez problemu obliczyć wartość tangensa:
$$tgα=\frac{a}{b} \\
tgα=\frac{12}{5}$$

Odpowiedź

D

Dodaj komentarz