W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość a. Kąt ostry przy tym boku ma miarę alfa

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość \(a\). Kąt ostry przy tym boku ma miarę \(α\). Wykaż, że \(sinα+cosα\gt1\).

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

matura z matematyki

Krok 2. Rozpisanie wartości \(sinα+cosα\).
Korzystając z oznaczeń na rysunku spróbujmy rozpisać sinusa i cosinusa:
$$sinα+cosα=\frac{b}{c}+\frac{a}{c}=\frac{a+b}{c}$$

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Z własności trójkątów wiemy, że najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego jest jego przeciwprostokątna. Wiemy też, że aby trójkąt mógł w ogóle zaistnieć, to suma jego dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego boku trójkąta. To oznacza, że \(a+b\gt c\). Patrząc się na otrzymane w kroku drugim wyrażenie \(\frac{a+b}{c}\) możemy stwierdzić, że licznik tego ułamka jest na pewno większy od mianownika, a skoro tak, to wartość tego ułamka musi być większa od \(1\), co należało udowodnić.

Odpowiedź

Udowodniono rozpisując wartości sinusa i cosinusa.

Dodaj komentarz