W trójkącie prostokątnym ACB przyprostokątna AC ma długość 5, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt

W trójkącie prostokątnym \(ACB\) przyprostokątna \(AC\) ma długość \(5\), a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy \(2\). Oblicz pole trójkąta \(ACB\).

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Boki trójkąta są tak naprawdę stycznymi do okręgu, zatem wykorzystując własności stycznych do okręgu możemy stworzyć taki oto rysunek pomocniczy:

matura z matematyki

Krok 2. Obliczenie wartości niewiadomej \(x\).
Skoro jest to trójkąt prostokątny, to możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:
$$|AB|^2+|AC|^2=|BC|^2 \\
(2+x)^2+5^2=(3+x)^2 \\
4+4x+x^2+25=9+6x+x^2 \quad\bigg/-x^2 \\
4+4x+25=9+6x \\
4x+29=9+6x \\
-2x+29=9 \\
-2x=-20 \\
x=10$$

Krok 3. Obliczenie długości boku \(AB\).
Skoro \(x=10\), to znaczy że:
$$|AB|=2+x \\
|AB|=2+10 \\
|AB|=12$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni trójkąta.
Wiemy już, że podstawa trójkąta ma długość \(12\) i wysokość \(5\), zatem:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
P=\frac{1}{2}\cdot12\cdot5 \\
P=6\cdot5 \\
P=30$$

Odpowiedź

\(P=30\)

Dodaj komentarz