Rozwiązanie
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na trapez kluczowe dane z treści zadania, otrzymamy taką oto sytuację:
Krok 2. Wyznaczenie równania prostej prostopadłej \(AB\).
Chcąc poznać współrzędne punktu \(A\), musimy ustalić najpierw jakie jest równanie prostej, która przechodzi przez podstawę \(AB\). Ta prosta będzie prostopadła do osi symetrii, czyli do prostej \(y=-\frac{4}{3}x+15\). Z własności prostych prostopadłych wiemy, że dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Skoro tak, to nasza prosta prostopadła musi mieć współczynnik \(a=\frac{3}{4}\), ponieważ \(\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)=-1\). Możemy zatem już stwierdzić, że nasza prosta \(AB\) wyraża się równaniem \(y=\frac{3}{4}x+b\).
Brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(b\). Aby go poznać, wystarczy podstawić do wyznaczonego równania \(y=\frac{3}{4}x+b\) współrzędne punktu \(B\), który do tej prostej należy. Otrzymamy w tedy:
$$8=\frac{3}{4}\cdot\frac{23}{2}+b \\
8=\frac{69}{8}+b \\
b=-\frac{5}{8}$$
To oznacza, że prosta \(AB\) wyraża się równaniem \(y=\frac{3}{4}x-\frac{5}{8}\).
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka \(AB\).
Oś symetrii przecina podstawę \(AB\) na dwie równe części. To prowadzi nas do wniosku, że miejsce przecięcia się tej osi z wyznaczoną przed chwilą prostą \(AB\) będzie jednocześnie środkiem odcinka \(AB\). Aby poznać to miejsce przecięcia się tych prostych, wystarczy rozwiązać następujący układ równań:
\begin{cases}
y=\frac{3}{4}x-\frac{5}{8} \\
y=-\frac{4}{3}x+15
\end{cases}
Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy:
$$\frac{3}{4}x-\frac{5}{8}=-\frac{4}{3}x+15 \\
\frac{3}{4}x+\frac{4}{3}x=15+\frac{5}{8} \\
\frac{9}{12}x+\frac{16}{12}x=15\frac{5}{8} \\
\frac{25}{12}x=\frac{125}{8} \quad\bigg/\cdot\frac{12}{25} \\
x=7\frac{1}{2}$$
Znamy już współrzędną \(x\). Teraz chcąc poznać współrzędną \(y\) musimy podstawić wyznaczony \(x=7\frac{1}{2}\) do wybranego równania z układu równań (np. z pierwszego). Otrzymamy wtedy:
$$y=\frac{3}{4}\cdot7\frac{1}{2}-\frac{5}{8} \\
y=\frac{3}{4}\cdot\frac{15}{2}-\frac{5}{8} \\
y=\frac{45}{8}-\frac{5}{8} \\
y=\frac{40}{8} \\
y=5$$
To oznacza, że \(S=\left(7\frac{1}{2};5\right)\).
Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(A\).
Znamy współrzędne środka odcinka \(AB\) oraz znamy współrzędne punktu \(B\). Interesujące nas współrzędne punktu \(A\) możemy zatem poznać korzystając ze wzoru na środek odcinka:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$
Dla lepszej przejrzystości obliczeń, wyznaczmy osobno współrzędną \(x_{A}\) oraz \(y_{A}\), zatem:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
7\frac{1}{2}=\frac{x_{A}+\frac{23}{2}}{2} \\
15=x_{A}+\frac{23}{2} \\
15=x_{A}+11\frac{1}{2} \\
x_{A}=3\frac{1}{2}$$
$$y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\
5=\frac{y_{A}+8}{2} \\
10=y_{A}+8 \\
y_{A}=2$$
To oznacza, że \(A=\left(3\frac{1}{2};2\right)\).
Krok 5. Obliczenie długości podstawy \(AB\).
Do obliczenia pola powierzchni potrzebujemy długości odcinka \(AB\). Skorzystamy w tym celu z następującego wzoru:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$
Podstawiając znane współrzędne \(A=\left(3\frac{1}{2};2\right)\) oraz \(B=\left(\frac{23}{2};8\right)\), otrzymamy
$$|AB|=\sqrt{(\frac{23}{2}-3\frac{1}{2})^2+(8-2)^2} \\
|AB|=\sqrt{8^2+6^2} \\
|AB|=\sqrt{64+36} \\
|AB|=\sqrt{100} \\
|AB|=10$$
Krok 6. Obliczenie wysokości trapezu.
Wysokość trapezu to długość odcinka \(SF\). Podstawiając do wzoru na długość odcinka współrzędne \(S=\left(7\frac{1}{2};5\right)\) oraz \(F=(3,11)\), otrzymamy:
$$|SF|=\sqrt{(3-7\frac{1}{2})^2+(11-5)^2} \\
|SF|=\sqrt{(-4,5)^2+6^2} \\
|SF|=\sqrt{20,25+36} \\
|SF|=\sqrt{56,25} \\
|SF|=7,5$$
To oznacza, że \(h=7,5\).
Krok 7. Obliczenie pola powierzchni.
Mamy już wszystkie potrzebne dane do obliczenia pola powierzchni trapezu, zatem możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}(10+5)\cdot7,5 \\
P=\frac{1}{2}\cdot15\cdot7,5 \\
P=56,25$$
