Rozwiązanie
Krok 1. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów.
Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, że trójkąty \(ACD\) i \(ABC\) są podobne. Skąd to wiemy? Widzimy, że obydwa trójkąty mają kąt prosty. W dodatku kąty \(ACD\) i \(CAB\) to są naprzemianległe, więc mają one jednakową miarę np. \(\alpha\). Tym samym i trzecie kąty w tych trójkątach będą miały tą samą miarę, czyli wynika to wprost z cechy kąt-kąt-kąt.
Krok 2. Obliczenie skali podobieństwa.
Możemy od razu obliczyć skalę podobieństwa naszych trójkątów. Jeśli przyjmiemy, że duży trójkąt \(ABC\) jest trójkątem podstawowym, a trójkąt \(ACD\) jest trójkątem podobnym, to skala podobieństwa wyniesie:
$$k=\frac{6}{7,5} \\
k=0,8$$
Krok 3. Obliczenie długości boku \(BC\).
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABC\), możemy zapisać, że:
$$|BC|^2+6^2=7,5^2 \\
|BC|^2+36=56,25 \\
|BC|^2+=20,25 \\
|BC|=4,5 \quad\lor\quad |BC|=-4,5$$
Długość boku musi być oczywiście dodatnia, zatem zostaje nam \(|BC|=4,5\).
Krok 4. Obliczenie długości \(AD\) oraz \(DC\).
Skoro skala podobieństwa naszych trójkątów wynosi \(k=0,8\) i znamy wszystkie długości trójkąta \(ABC\), to tym samym możemy obliczyć długości przyprostokątnych w trójkącie \(ACD\), które są górną podstawą oraz wysokością naszej figury. Trzeba tylko uważać, by do obliczeń brać odpowiednie długości boków, które są bokami odpowiadającymi w danych figurach:
$$|AD|=k\cdot|BC| \\
|AD|=0,8\cdot4,5 \\
|AD|=3,6$$
$$|DC|=k\cdot|AC| \\
|DC|=0,8\cdot6 \\
|DC|=4,8$$
Krok 5. Obliczenie pola trapezu.
Znamy już wszystkie potrzebne długości do obliczenia pola trapezu, zatem:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}(7,5+4,8)\cdot3,6 \\
P=\frac{1}{2}\cdot12,3\cdot3,6 \\
P=22,14$$
