W trapezie ABCD, w którym AB||CD, przedłużono ramiona AD i BC tak, aby przecięły się w punkcie E

W trapezie \(ABCD\), w którym \(AB||CD\), przedłużono ramiona \(AD\) i \(BC\) tak, aby przecięły się w punkcie \(E\). Wiadomo, że \(AB=8cm\), \(CD=2cm\), a pole powstałego trójkąta \(DCE\) jest równe \(2cm^2\). Oblicz pole trapezu \(ABCD\).

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Opisana w treści zadania sytuacja wygląda mniej więcej w ten oto sposób:
matura z matematyki

Krok 2. Dostrzeżenie trójkątów podobnych.
Powinniśmy dostrzec, że na rysunku pojawiły nam się dwa trójkąty podobne: \(ABE\) oraz \(DCE\). Ich podobieństwo wynika z cechy kąt-kąt-kąt, bowiem skoro prosta \(CD\) jest równoległa do prostej \(AB\), to kąty przy podstawach mają jednakową miarę, a kąt przy wierzchołku \(E\) jest wspólny dla obydwu trójkątów. Możemy więc dla ułatwienia wyodrębnić sobie na rysunku te dwa trójkąty:
matura z matematyki

Krok 3. Obliczenie skali podobieństwa.
Jeżeli przyjmiemy sobie, że mniejszy trójkąt \(DCE\) jest trójkątem podstawowym, a trójkąt \(ABE\) jest trójkątem podobnym, to skala podobieństwa będzie równa:
$$k=\frac{|AB|}{|DC|} \\
k=\frac{8}{2} \\
k=4$$

Uwaga: Gdybyśmy przyjęli, że trójkąt \(ABE\) jest podstawowy, a trójkąt \(DCE\) jest podobny, to skala podobieństwa będzie równa \(k=\frac{1}{4}\) i jest to jak najbardziej poprawny tok rozwiązywania zadania. Różnica jest tylko taka, że w dalszych krokach trzeba konsekwentnie odnosić się do wybranej przez siebie figury podobnej.

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ABE\).
Z własności figur podobnych wiemy, że trójkąt podobny w skali \(k\) ma pole powierzchni \(k^2\) razy większe od trójkąta podstawowego. Z treści zadania wynika, że \(P_{DCE}=2cm^2\), zatem:
$$P_{ABE}=k^2\cdot P_{DCE} \\
P_{ABE}=4^2\cdot2cm^2 \\
P_{ABE}=16\cdot2cm^2 \\
P_{ABE}=32cm^2$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni trapezu \(ABCD\).
Pole trapezu jest różnicą między polem powierzchni dużego trójkąta \(ABE\) i małego trójkąta \(DCE\), zatem:
$$P_{ABCD}=P_{ABE}-P_{DCE} \\
P_{ABCD}=32cm^2-2cm^2 \\
P_{ABCD}=30cm^2$$

Odpowiedź

\(P_{ABCD}=30cm^2\)

Dodaj komentarz