W trapezie ABCD (AB||CD) przekątne AC i BD przecinają się w punkcie O takim, że AO:OC=5:1

W trapezie \(ABCD\) (\(AB||CD\)) przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(O\) takim, że \(|AO|:|OC|=5:1\). Pole trójkąta \(AOD\) jest równe \(10\). Uzasadnij, że pole trapezu \(ABCD\) jest równe \(72\).

w trapezie ABCD przekątne AC i BD przecinają się

Rozwiązanie:
Krok 1. Obliczenie pola trójkąta \(OCD\) oraz \(ACD\).

Spójrzmy na trójkąt \(ACD\), możemy go sobie nawet wyodrębnić z całego rysunku i naszkicować:

w trapezie ABCD przekątne AC i BD przecinają się

Gdybyśmy chcieli obliczyć pole trójkąta \(OCD\) (którego pola powierzchni szukamy), to byłoby to:
$$P_{OCD}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot h \\
P_{OCD}=0,5x\cdot h$$

Gdybyśmy chcieli obliczyć pole trójkąta \(AOD\) (którego pole powierzchni znamy), to byłoby to:
$$P_{AOD}=\frac{1}{2}\cdot5x\cdot h \\
P_{AOD}=2,5x\cdot h$$

Widzimy wyraźnie, że pole trójkąta \(AOD\) jest pięciokrotnie większe od trójkąta \(OCD\). Skoro więc \(P_{AOD}=10\), to \(P_{OCD}=10:5=2\).

Tym samym możemy wyznaczyć pole trójkąta \(ACD\):
$$P_{ACD}=P_{AOD}+P_{OCD}=10+2=12$$

Krok 2. Ustalenie podobieństwa trójkątów \(ABO\) i \(OCD\).

Musimy zauważyć, że trójkąty \(ABO\) i \(OCD\) są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. Skąd to wiemy?
\(|\sphericalangle AOB|=|\sphericalangle DOC| \Rightarrow\) kąty wierzchołkowe
\(|\sphericalangle BAC|=|\sphericalangle DCA| \Rightarrow\) kąty naprzemianległe
\(|\sphericalangle ABD|=|\sphericalangle CDB| \Rightarrow\) kąty naprzemianległe

Ale to nie wszystko, bo znamy też skalę podobieństwa tych trójkątów. Skoro odcinek \(AO\) jest pieć razy dłuższy od odcinka \(OC\), to skala podobieństwa wynosi \(k=5\). Z własności figur podobnych wiemy, że jeśli boki pierwszej figury podobnej są \(k\) razy większe od boków figury drugiej, to pole powierzchni pierwszej figury jest \(k^2\) większe. W naszym przypadku oznaczać to będzie, że pole trójkąta \(ABO\) jest \(5^2=25\) razy większe od pola trójkąta \(OCD\), czyli:
$$P_{ABO}=25\cdot2=50$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(OBC\).

Spójrzmy na duże trójkąty \(ABD\) oraz \(ABC\). Ich miary pól powierzchni muszą być sobie równe, bo obydwa trójkąty mają tą samą podstawę \(|AB|\) oraz tą samą wysokość (która jest wysokością trapezu). Pole trójkąta \(ABD\) możemy obliczyć bardzo szybko:
$$P_{ABD}=P_{ABO}+P_{AOD} \\
P_{ABD}=50+10 \\
P_{ABD}=60$$

Skoro tak, to także \(P_{ABC}=60\), zatem możemy wyznaczyć pole trójkąta \(OBC\):
$$P_{ABC}=P_{ABO}+P_{OBC} \\
60=50+P_{OBC} \\
P_{OBC}=10$$

Krok 4. Obliczenie pola trapezu.

Obliczyliśmy wartości czterech mniejszych trójkątów wchodzących w skład trapezu, więc pole trapezu będzie sumą naszych wszystkich wyników:
$$P_{ABCD}=P_{ABO}+P_{AOD}+P_{OBC}+P_{OCD} \\
P_{ABCD}=50+10+10+2 \\
P_{ABCD}=72$$

Wynik wyszedł nam taki sam jak w treści zadania, tak więc dowód możemy uznać za zakończony.

Odpowiedź:

Udowodniono wykorzystując własności trójkątów podobnych.

Dodaj komentarz

Bądź pierwszy!