W siedmiowyrazowym ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest równy 0. Udowodnij, że suma wyrazów tego ciągu

W siedmiowyrazowym ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest równy \(0\). Udowodnij, że suma wyrazów tego ciągu jest równa \(0\).

Rozwiązanie

Korzystając z tego wzoru ogólnego na \(n\)-ty wyraz ciągu, czyli \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\), możemy zapisać, że:
$$S_{7}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7} \\
S_{7}=a_{1}+(a_{1}+r)+(a_{1}+2r)+(a_{1}+3r)+(a_{1}+4r)+(a_{1}+5r)+(a_{1}+6r) \\
S_{7}=7a_{1}+21r$$

Wiemy, że środkowy (czyli czwarty) wyraz tego ciągu jest równy \(0\), czyli:
$$a_{1}+3r=0 \\
a_{1}=-3r$$

Podstawiając to do wyznaczonej przed chwilą sumy otrzymamy:
$$S_{7}=7a_{1}+21r \\
S_{7}=7\cdot(-3r)+21r \\
S_{7}=-21r+21r \\
S_{7}=0$$

Odpowiedź

Udowodniono obliczając sumę siedmiu wyrazów.

Dodaj komentarz