W równoległoboku ABCD punkt E jest środkiem boku BC. Z wierzchołka D poprowadzono prostą przecinającą bok BC

W równoległoboku \(ABCD\) punkt \(E\) jest środkiem boku \(BC\). Z wierzchołka \(D\) poprowadzono prostą przecinającą bok \(BC\) w punkcie \(E\). Proste \(AB\) i \(DE\) przecinają się w punkcie \(F\) (zobacz rysunek). Wykaż, że punkt \(B\) jest środkiem odcinka \(AF\).

matura z matematyki

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zgodnie z informacjami z treści zadania możemy oznaczyć sobie długości odcinków \(CE\) oraz \(EB\) jako \(x\), natomiast odcinek \(AD\) jako \(x+x=2x\). Dodatkowo oznaczmy też odcinek \(AB\) jako \(a\) oraz odcinek \(BF\) jako \(b\).

matura z matematyki

Krok 2. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów i zapisanie równania.
Trójkąty \(BFE\) oraz \(AFD\) są trójkątami podobnymi. Możemy być tego pewni, gdyż proste \(AD\) oraz \(BE\) są prostymi równoległymi (bo jest to równoległobok). Skoro tak, to możemy zapisać stosunki długości poszczególnych boków tworzą następujące równanie:
$$\frac{b}{x}=\frac{a+b}{2x}$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania.
Powstało nam równanie, które musimy teraz rozwiązać. Najprościej będzie zacząć od mnożenia na krzyż. Otrzymamy wtedy:
$$b\cdot2x=(a+b)\cdot x \\
2bx=ax+bx \quad\bigg/-bx \\
bx=ax \quad\bigg/:x \\
a=b$$

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Udało nam się udowodnić, że odcinek \(a\) (czyli \(AB\)), jest równy odcinkowi \(b\) (czyli \(BF\)). To oznacza, że punkt \(B\) jest środkiem odcinka \(AF\), bo tylko środek odcinka może podzielić go na dwie równe części. Dowodzenie możemy uznać więc za skończone.

Odpowiedź

Udowodniono korzystając z podobieństwa trójkątów.

2
Dodaj komentarz

kac

Czy można pierwszy wzór wyprowadzić powołując się na twierdzenie odwrotne do tw. Talesa zamiast z podobieństwa trójkątów?