W równoległoboku ABCD bok AB jest dwa razy dłuższy od boku AD. Punkt K jest środkiem boku AB

W równoległoboku \(ABCD\) bok \(AB\) jest dwa razy dłuższy od boku \(AD\). Punkt \(K\) jest środkiem boku \(AB\), a punkt \(L\) jest środkiem boku \(CD\).

egzamin ósmoklasisty



Oceń prawdziwość podanych zdań.

Trójkąt \(ABL\) ma takie samo pole, jak trójkąt \(ABD\).
Pole równoległoboku \(ABCD\) jest cztery razy większe od pola trójkąta \(AKD\).
Rozwiązanie

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą. Do obliczenia pola trójkąta potrzebna jest długość podstawy oraz wysokość (\(P=\frac{1}{2}ah\)). Nie znamy dokładnych miar tych dwóch trójkątów, ale wystarczy zauważyć że obydwa trójkąty mają tą samą podstawę oraz ich wysokość ma tą samą długość. To oznacza, że niezależnie od wartości liczbowych pola jednego i drugiego trójkąta będą dokładnie takie same.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest prawdą. Zarówno równoległobok jak i trójkąt będą mieć dokładnie tą samą wysokość (opuszczoną z wierzchołka \(D\)). To co je różni to długość podstawy. Jeżeli \(|AK|=\frac{1}{2}|AB|\), to pole trójkąta będzie równe:
$$P_{t}=\frac{1}{2}ah \\
P_{t}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}|AB|\cdot H \\
P_{t}=\frac{1}{4}|AB|\cdot H$$

Pole równoległoboku będzie natomiast równe:
$$P_{r}=|AB|\cdot H$$

Widzimy wyraźnie, że to co różni te dwa wyrażenia to wartość ułamkowa stojąca przy polu trójkąta. To właśnie ona sprawia, że pole równoległoboku niezależnie od dokładnych wymiarów będzie cztery razy większe od pola trójkąta.

Odpowiedź

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Dodaj komentarz