W pudełku znajduje się 6 kul białych i 2 czarne. Wyciągamy z niego jedną kulę

W pudełku znajduje się \(6\) kul białych i \(2\) czarne. Wyciągamy z niego jedną kulę, odkładamy ją i losujemy drugą kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wyciągniemy kule różnych kolorów.

Rozwiązanie

Krok 1. Rozpatrzenie pierwszego losowania.
W pudełku znajduje się \(6\) białych kul oraz \(2\) czarne, zatem łącznie jest \(8\) kul. Prawdopodobieństwo wylosowania w pierwszym losowaniu białej kuli jest zatem równe \(\frac{6}{8}\), natomiast czarnej jest równe \(\frac{2}{8}\).

Krok 2. Rozpatrzenie drugiego losowania.
Jeżeli za pierwszym razem wylosowaliśmy białą kulę, to zostało \(5\) białych kul i \(2\) czarne. Łącznie mamy \(7\) kul, a szanse na wylosowanie czarnej kuli są teraz równe \(\frac{2}{7}\).

Jeżeli za pierwszym razem wylosowaliśmy czarną kulę, to zostało \(6\) białych kul i \(1\) czarna. Łącznie mamy \(7\) kul, a szanse na wylosowanie białej kuli są teraz równe \(\frac{6}{7}\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa wyciągnięcia kul różnych kolorów.
Prawdopodobieństwo wylosowania za pierwszym razem białej kuli, a za drugim czarnej, jest równe:
$$p_{1}=\frac{6}{8}\cdot\frac{2}{7}=\frac{12}{56}$$

Prawdopodobieństwo wylosowania za pierwszym razem czarnej kuli, a za drugim białej, jest równe:
$$p_{2}=\frac{2}{8}\cdot\frac{6}{7}=\frac{12}{56}$$

Interesują nas obydwa te przypadki zatem prawdopodobieństwa musimy do siebie dodać. To oznacza, że prawdopodobieństwo wyciągnięcia kul różnych kolorów jest równe:
$$p=\frac{12}{56}+\frac{12}{56}=\frac{24}{56}=\frac{3}{7}$$

Odpowiedź

\(p=\frac{3}{7}\)

Dodaj komentarz