W prostopadłościanie \(ABCDEFGH\) mamy: \(|AB|=5\), \(|AD|=4\), \(|AE|=3\). Który z odcinków \(AB\), \(BG\), \(GE\), \(EB\) jest najdłuższy?
\(AB\)
\(BG\)
\(GE\)
\(EB\)
Rozwiązanie:
Wiemy, że \(|AB|=5\). Pozostałe długości boków musimy obliczyć korzystając z Twierdzenia Pitagorasa \(a^2+b^2=c^2\) oraz z długości odcinków podanych w zadaniu.
Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(BG\).
$$|BG|^2=|FB|^2+|FG|^2 \\
|BG|^2=3^2+4^2 \\
|BG|^2=9+16 \\
|BG|^2=25 \\
|BG|=5$$
Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(GE\).
$$|GE|^2=|FE|^2+|FG|^2 \\
|GE|^2=5^2+4^2 \\
|GE|^2=25+16 \\
|GE|^2=41 \\
|GE|=\sqrt{41}$$
Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(EB\).
$$|EB|^2=|AB|^2+|AE|^2 \\
|EB|^2=5^2+3^2 \\
|EB|^2=25+9 \\
|EB|^2=34 \\
|EB|=\sqrt{34}$$
Krok 4. Wskazanie najdłuższego odcinka.
Sprowadźmy wszystkie odpowiedzi do jakiejś wspólnej postaci, np. pierwiastka:
$$|AB|=5=\sqrt{25} \\
|BG|=5=\sqrt{25} \\
|GE|=\sqrt{41} \\
|EB|=\sqrt{34}$$
W związku z tym widzimy, że najdłuższy jest odcinek \(GE\).
Odpowiedź:
C. \(GE\)
