W prostokącie przekątna długości d dzieli kąt prostokąta na dwie równe części. Wykaż, że pole kwadratu

W prostokącie przekątna długości \(d\) dzieli kąt prostokąta na dwie równe części. Wykaż, że pole kwadratu zbudowanego na tej przekątnej jest dwa razy większe od pola prostokąta.

Rozwiązanie

Krok 1. Dostrzeżenie, że początkowy prostokąt musi być kwadratem.
Z treści zadania wiemy, że przekątna prostokąta dzieli kąt na dwie równe części (czyli na kąty \(45°\)). Jest to sytuacja charakterystyczna tylko i wyłącznie dla kwadratu i właśnie stąd też możemy wywnioskować, że nasz prostokąt wyjściowy jest po prostu kwadratem.

Krok 2. Wyznaczenie długości boku kwadratu zbudowanego na przekątnej.
Wiemy już, że nasz wyjściowy prostokąt jest kwadratem, a skoro tak to wiemy też, że jeżeli jego bok ma długość \(a\) to przekątną możemy zapisać jako \(d=a\sqrt{2}\). Tym samym długość boku kwadratu zbudowanego na tej przekątnej będzie równa właśnie \(a\sqrt{2}\).

Krok 3. Obliczenie pól powierzchni obydwu kwadratów i zakończenie dowodzenia.
Pole pierwszego (wyjściowego) kwadratu jest równe: \(P=a\cdot a=a^2\)
Pole drugiego (zbudowanego na przekątnej) kwadratu jest równe: \(P=a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}=2a^2\)

To oznacza, że pole drugiego kwadratu jest dwukrotnie większe i to właśnie należało udowodnić.

Odpowiedź

Udowodniono zapisując wzory na pola tych kwadratów.

Dodaj komentarz