W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o wysokości 2√3 krawędź boczna tworzy z podstawą kąt 45 stopni

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o wysokości \(2\sqrt{3}\) krawędź boczna tworzy z podstawą kąt \(45°\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Wiemy, że ostrosłup jest prawidłowy trójkątny, czyli w podstawie będzie miał trójkąt równoboczny. Zróbmy więc prosty rysunek szkicowy i nanieśmy na niego dane z treści zadania:
matura z matematyki

Krok 2. Wyznaczenie długości odcinka \(PC\).
Patrząc się na nasz szkicowy rysunek powinniśmy dostrzec, że trójkąt prostokątny \(PCS\) jest jednocześnie trójkątem równoramiennym. Wynika to wprost z własności trójkątów prostokątnych - kiedy jeden kąt ostry ma miarę \(45°\), to i drugi kąt ostry w tym trójkącie ma taką miarę. Z tego też względu długości przyprostokątnych w tym trójkącie są jednakowe, a skoro wysokość \(SP\) ma miarę \(2\sqrt{3}\), to i odcinek \(PC\) będzie miał miarę \(|PC|=2\sqrt{3}\).

Krok 3. Obliczenie długości wysokości trójkąta znajdującego się w podstawie.
Odcinek \(PC\) stanowi \(\frac{2}{3}\) długości wysokości trójkąta równobocznego, który znalazł się w podstawie. W związku z tym:
$$\frac{2}{3}h_{p}=2\sqrt{3} \quad\bigg/\cdot3 \\
2h_{p}=6\sqrt{3} \\
h_{p}=3\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Znając wysokość trójkąta równobocznego możemy bez problemu obliczyć długość boku trójkąta. Dokonamy tego korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:
$$h_{p}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
3\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \quad\bigg/\cdot2 \\
6\sqrt{3}=a\sqrt{3} \\
a=6$$

Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Wiedząc, że bok trójkąta równobocznego ma długość \(a=6\) możemy przejść do obliczenia pola podstawy:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{36\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=9\sqrt{3}$$

Krok 6. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znamy pole podstawy, znamy też wysokość ostrosłupa, zatem:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3} \\
V=3\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3} \\
V=6\cdot3 \\
V=18$$

Odpowiedź

\(V=18\)

Dodaj komentarz