Rozwiązanie
Krok 1. Dostrzeżenie brył podobnych i obliczenie skali podobieństwa.
Ostrosłup \(ABCS\) jest prawidłowy, czyli w swojej podstawie ma on trójkąt równoboczny. Przyjmijmy, że krawędź podstawy będzie tutaj równa \(a\), natomiast wysokość jest równa \(h\). Teraz spójrzmy na mniejszy ostrosłup \(ADEF\). Z treści zadania wynika, że wszystkie jego wymiary będą dwukrotnie mniejsze od dużego ostrosłupa, czyli że tutaj krawędź podstawy jest równa \(\frac{1}{2}a\), a wysokość \(\frac{1}{2}h\). To prowadzi nas do wniosku, że te bryły są podobne. Jeżeli więc przyjmiemy, że duży ostrosłup jest bryłą podstawową, a mały ostrosłup bryłą podobną, to skala podobieństwa będzie równa \(k=\frac{1}{2}\).
Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Skala podobieństwa \(k=\frac{1}{2}\) oznacza, że tak naprawdę każda krawędź małego ostrosłupa jest dwa razy mniejsza od krawędzi dużego ostrosłupa. Z własności figur podobnych wiemy, że w takim przypadku pole powierzchni figury podobnej będzie stanowić \(k^2\) figury podstawowej. Możemy więc zapisać, że:
$$k^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2 \\
k^2=\frac{1}{4}$$
To oznacza, że pole powierzchni ostrosłupa \(ADEF\) będzie czterokrotnie mniejsze od pola powierzchni dużego ostrosłupa, więc zdanie jest fałszem.
Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Jeżeli dwie figury są względem siebie podobne w skali \(k\) to objętość bryły podobnej stanowi \(k^3\) objętości bryły podstawowej. W związku z tym:
$$k^3=\left(\frac{1}{2}\right)^3 \\
k^3=\frac{1}{8}$$
To oznacza, że objętość ostrosłupa \(ADEF\) jest ośmiokrotnie mniejsza od objętości dużego ostrosłupa, więc zdanie jest prawdą.
