W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS krawędź podstawy ma długość a. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym \(ABCS\) krawędź podstawy ma długość \(a\). Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest dwa razy większe od pola jego podstawy. Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

matura z matematyki

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie nasz ostrosłup i wprowadźmy proste oznaczenia, pamiętając o tym że skoro jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny, to w podstawie musi znaleźć się trójkąt równoboczny:

matura z matematyki

Musimy obliczyć cosinus kąta \(α\), czyli:
$$cosα=\frac{|OC|}{|SC|}$$

To oznacza, że będziemy chcieli poznać długości odcinków \(OC\) oraz \(SC\). Długości jako takich na pewno nie poznamy, bo w zadaniu nie występują konkretne liczby, dlatego będziemy musieli operować na wyrażeniach algebraicznych i powiązaniach poszczególnych długości z długością \(a\). Na tym tak naprawdę polegać będzie cała trudność tego zadania.

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(OC\).
Odcinek \(OC\) stanowi \(\frac{2}{3}\) długości wysokości trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie (wynika to z własności ostrosłupów prawidłowych trójkątnych). Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:
$$|OC|=\frac{2}{3}\cdot h \\
|OC|=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
|OC|=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
|OC|=\frac{2a\sqrt{3}}{6} \\
|OC|=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(DS\).
Odcinek \(DS\) (wysokość ściany bocznej oznaczona jako \(h\)) przyda nam się do obliczenia długości krawędzi bocznej, czyli boku \(SC\). Z treści zadania wynika, że pole powierzchni bocznej jest dwa razy większe od pola podstawy. W związku z tym:
$$P_{b}=2P_{p} \\
P_{b}=2\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{b}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$

Pole powierzchni bocznej to pole trzech trójkątów równoramiennych, każdy o boku \(a\) oraz wysokości \(h\), zatem:
$$P_{b}=3\cdot\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \\
P_{b}=\frac{3}{2}\cdot a\cdot h$$

Przyrównując teraz do siebie te dwa wyznaczone równania otrzymamy:
$$\frac{3}{2}\cdot a\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{2} \quad\bigg/\cdot2 \\
3a\cdot h=a^2\sqrt{3} \quad\bigg/:3a \\
h=\frac{a^2\sqrt{3}}{3a} \\
h=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$

W związku z tym: \(|DS|=\frac{a\sqrt{3}}{3}\).

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(SC\).
Spójrzmy na trójkąt \(DCS\). Długość kluczowego odcinka \(SC\) (oznaczonego na rysunku jako \(b\)) obliczymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa. Odcinek \(DC\) będący dolną przyprostokątną tego trójkąta ma długość \(\frac{1}{2}a\) (bo wysokość w trójkącie równobocznym dzieli podstawę na dwie równe części). Odcinek \(DS\) który jest drugą przyprostokątną wyliczyliśmy przed chwilą i wiemy że \(DS=\frac{a\sqrt{3}}{3}\), zatem:
$$|DC|^2+|DS|^2=|SC|^2 \\
\left(\frac{1}{2}a\right)^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2=b^2 \\
\frac{1}{4}a^2+\frac{a^2\cdot3}{9}=b^2 \\
\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{3}=b^2 \\
\frac{3a^2}{12}+\frac{4a^2}{12}=b^2 \\
\frac{7a^2}{12}=b^2 \\
b=\sqrt{\frac{7a^2}{12}} \\
b=\frac{\sqrt{7a^2}}{\sqrt{12}} \\
b=\frac{\sqrt{7}a}{\sqrt{4\cdot3}} \\
b=\frac{\sqrt{7}a}{2\sqrt{3}} \\
b=\frac{\sqrt{7}a\cdot\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \\
b=\frac{\sqrt{21}a}{2\cdot3} \\
b=\frac{\sqrt{21}a}{6}$$

To oznacza, że krawędź boczna ma długość \(|SC|=\frac{\sqrt{21}a}{6}\).

Krok 5. Obliczenie wartości \(cosα\).
Mamy już wszystkie potrzebne dane, zatem możemy zapisać, że:
$$cosα=\frac{|OC|}{|SC|} \\
cosα=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{21}a}{6}} \\
cosα=\frac{a\sqrt{3}}{3}:\frac{\sqrt{21}a}{6} \\
cosα=\frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{6}{\sqrt{21}a} \\
cosα=\frac{6a\sqrt{3}}{3\sqrt{21}a} \\
cosα=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{21}a} \\
cosα=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}\cdot\sqrt{3}\cdot a} \\
cosα=\frac{2}{\sqrt{7}} \\
cosα=\frac{2\cdot\sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}} \\
cosα=\frac{2\sqrt{7}}{7}$$

Odpowiedź

\(\cosα=\frac{2\sqrt{7}}{7}\)

Dodaj komentarz