W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna o polu równym 10 jest nachylona do płaszczyzny podstawy

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna o polu równym \(10\) jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60°\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

matura z matematyki

Krok 2. Obliczenie zależności między krawędzią podstawy i wysokością trójkąta znajdującego się w ścianie bocznej.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(OES\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych (a dokładniej z cosinusa) możemy zapisać, że:
$$cos60°=\frac{\frac{1}{2}a}{h} \\
\frac{1}{2}=\frac{\frac{1}{2}a}{h} \quad\bigg/\cdot h \\
\frac{1}{2}h=\frac{1}{2}a \\
h=a$$

To oznacza, że wysokość trójkąta znajdującego się w ścianie bocznej jest równa długości krawędzi podstawy.

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy i wysokości ściany bocznej.
Korzystając z informacji, że pole ściany bocznej jest równe \(10\) możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
10=\frac{1}{2}a\cdot a \quad\bigg/\cdot2 \\
a^2=20 \\
a=\sqrt{20} \quad\lor\quad a=-\sqrt{20}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej długości. Zostaje nam zatem \(a=\sqrt{20}\). Tym samym zgodnie z tym co zapisaliśmy w poprzednim kroku, także \(h=\sqrt{20}\).

Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy ponownie na trójkąt \(OES\). Tutaj także skorzystamy z funkcji trygonometrycznych (tym razem z sinusa). Skoro odcinek \(SE\) (czyli wysokość ściany bocznej oznaczonej jako \(h\)) ma długość \(h=\sqrt{20}\), to:
$$sinα=\frac{H}{h} \\
sin60°=\frac{H}{\sqrt{20}} \\
\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{H}{\sqrt{20}} \quad\bigg/\cdot\sqrt{20} \\
H=\frac{\sqrt{60}}{2} \\
H=\frac{\sqrt{4\cdot15}}{2} \\
H=\frac{2\sqrt{15}}{2} \\
H=\sqrt{15}$$

Krok 5. Obliczenie objętości bryły.
Znając długość krawędzi podstawy oraz wysokość ostrosłupa możemy przejść do obliczenia objętości:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot(\sqrt{20})^2\cdot\sqrt{15} \\
V=\frac{1}{3}\cdot20\cdot\sqrt{15} \\
V=\frac{20\sqrt{15}}{3}$$

Odpowiedź

\(V=\frac{20\sqrt{15}}{3}\)

Dodaj komentarz