W nieskończonym ciągu arytmetycznym an, określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187

W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(187\). Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa \(12\). Wyrazy \(a_{1}, a_{3}, a_{k}\) ciągu \((a_{n})\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny \((b_{n})\). Oblicz \(k\).

Rozwiązanie:
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania i stworzenie z nich układu równań.

Na początek zajmijmy się ciągiem arytmetycznym. Z treści zadania wynika, że:
\begin{cases}
S_{11}=187 \\
\frac{a_{1}+a_{3}+a_{9}}{3}=12
\end{cases}

Krok 2. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.

Ze wzoru \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) wiemy, że:
$$a_{3}=a_{1}+2r \\
a_{9}=a_{1}+8r \\
a_{11}=a_{1}+10r$$

Ze wzoru \(S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n\) wynika, że:
$$S_{11}=\frac{a_{1}+a_{11}}{2}\cdot11 \\
S_{11}=\frac{a_{1}+a_{1}+10r}{2}\cdot11 \\
S_{11}=\frac{2a_{1}+10r}{2}\cdot11 \\
S_{11}=(a_{1}+5r)\cdot11 \\
S_{11}=11a_{1}+55r$$

Podstawiając te wszystkie przekształcenia do układu równań otrzymamy:
\begin{cases}
11a_{1}+55r=187 \\
\frac{a_{1}+a_{1}+2r+a_{1}+8r}{3}=12
\end{cases}\begin{cases}
11a_{1}+55r=187 \quad\bigg/:11 \\
\frac{3a_{1}+10r}{3}=12 \quad\bigg/\cdot3
\end{cases}\begin{cases}
a_{1}+5r=17 \quad\bigg/\cdot(-3) \\
3a_{1}+10r=36
\end{cases}\begin{cases}
-3a_{1}-15r=-51 \\
3a_{1}+10r=36
\end{cases}

Dzięki pomnożeniu przez \(-3\) możemy teraz dodać oba równania stronami i pozbyć się niewiadomej \(a_{1}\). Oczywiście dobrą metodą na rozwiązanie tego równania byłoby też podstawienie do drugiego równania \(a_{1}=17-5r\). Po dodaniu równań stronami otrzymamy:
$$-5r=-15 \\
r=3$$

Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego i trzeciego wyrazu.

Podstawiając \(r=3\) do dowolnego z równań otrzymamy:
$$3a_{1}+10r=36 \\
3a_{1}+10\cdot3=36 \\
3a_{1}=6 \\
a_{1}=2$$

Obliczmy jeszcze wartość trzeciego wyrazu tego ciągu (przyda nam się podczas wykonywania działań na ciągu geometrycznym).
$$a_{3}=a_{1}+2r \\
a_{3}=2+2\cdot3 \\
a_{3}=8$$

Krok 4. Zapisanie wzoru na \(a_{k}\) wyraz ciągu.

$$a_{k}=a_{1}+(k-1)r \\
a_{k}=2+(k-1)\cdot3 \\
a_{k}=2+3k-3 \\
a_{k}=3k-1$$

Krok 5. Obliczenie wartości \(k\).

Skoro \(a_{1}, a_{3}, a_{k}\) to trzy kolejne wyrazu ciągu geometrycznego, to zajdzie między nimi relacja:
$${a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{k} \\
8^2=2\cdot(3k-1) \\
64=6k-2 \\
66=6k \\
k=11$$

Odpowiedź:

\(k=11\)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.