W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(187\). Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa \(12\). Wyrazy \(a_{1}, a_{3}, a_{k}\) ciągu \((a_{n})\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny \((b_{n})\). Oblicz \(k\).
Na początek zajmijmy się ciągiem arytmetycznym. Z treści zadania wynika, że:
\begin{cases}
S_{11}=187 \\
\frac{a_{1}+a_{3}+a_{9}}{3}=12
\end{cases}
Ze wzoru \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) wiemy, że:
$$a_{3}=a_{1}+2r \\
a_{9}=a_{1}+8r \\
a_{11}=a_{1}+10r$$
Ze wzoru \(S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n\) wynika, że:
$$S_{11}=\frac{a_{1}+a_{11}}{2}\cdot11 \\
S_{11}=\frac{a_{1}+a_{1}+10r}{2}\cdot11 \\
S_{11}=\frac{2a_{1}+10r}{2}\cdot11 \\
S_{11}=(a_{1}+5r)\cdot11 \\
S_{11}=11a_{1}+55r$$
Podstawiając te wszystkie przekształcenia do układu równań otrzymamy:
\begin{cases}
11a_{1}+55r=187 \\
\frac{a_{1}+a_{1}+2r+a_{1}+8r}{3}=12
\end{cases}\begin{cases}
11a_{1}+55r=187 \quad\bigg/:11 \\
\frac{3a_{1}+10r}{3}=12 \quad\bigg/\cdot3
\end{cases}\begin{cases}
a_{1}+5r=17 \quad\bigg/\cdot(-3) \\
3a_{1}+10r=36
\end{cases}\begin{cases}
-3a_{1}-15r=-51 \\
3a_{1}+10r=36
\end{cases}
Dzięki pomnożeniu przez \(-3\) możemy teraz dodać oba równania stronami i pozbyć się niewiadomej \(a_{1}\). Oczywiście dobrą metodą na rozwiązanie tego równania byłoby też podstawienie do drugiego równania \(a_{1}=17-5r\). Po dodaniu równań stronami otrzymamy:
$$-5r=-15 \\
r=3$$
Podstawiając \(r=3\) do dowolnego z równań otrzymamy:
$$3a_{1}+10r=36 \\
3a_{1}+10\cdot3=36 \\
3a_{1}=6 \\
a_{1}=2$$
Obliczmy jeszcze wartość trzeciego wyrazu tego ciągu (przyda nam się podczas wykonywania działań na ciągu geometrycznym).
$$a_{3}=a_{1}+2r \\
a_{3}=2+2\cdot3 \\
a_{3}=8$$
$$a_{k}=a_{1}+(k-1)r \\
a_{k}=2+(k-1)\cdot3 \\
a_{k}=2+3k-3 \\
a_{k}=3k-1$$
Skoro \(a_{1}, a_{3}, a_{k}\) to trzy kolejne wyrazu ciągu geometrycznego, to zajdzie między nimi relacja:
$${a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{k} \\
8^2=2\cdot(3k-1) \\
64=6k-2 \\
66=6k \\
k=11$$
\(k=11\)
skąd wzięło się a3^2 = a1*ak da się to rozpisać i wytłumaczyć?
To wynika z własności ciągów geometrycznych – kiedy mamy trzy kolejne wyrazy to kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi dwóch pozostałych. Zazwyczaj piszemy, że a2^2=a1*a3, no ale tutaj mamy inne oznaczenia i środkowym wyrazem jest właśnie a3 ;)
Dlaczego przy obliczaniu ak używamy wzoru na ciąg arytmetyczny, a nie geometryczny?
Tak prawdę mówiąc to korzystamy i ze wzoru z ciągu arytmetycznego i geometrycznego ;) Możemy tak zrobić, bo ten wyraz jest zarówno w ciągu arytmetycznym, jak i geometrycznym.
Po obliczeniu a1 i a3 chciałam zrobić inną metodą i obliczyć q, które wyszłoby 8/2=4, ale wtedy ak=8*4=32 i nie wychodzi mi k=11.. nie wiem gdzie robię błąd.. z góry dziękuję za odpowiedź
Ale to jest jak najbardziej dobry sposób! Ba, nawet wynik masz dobry, tylko źle go interpretujesz :) Wyszło Ci 32 i to jest wartość tego ostatniego wyrazu (jeszcze nie wiesz, że to jest a11)! :) Wiedząc, że a1=2 oraz r=3 szybko się dojdzie do tego, że wartość równą 32 ma właśnie jedenasty wyraz i to będzie odpowiedź do zadania :)