W niemonotonicznym ciągu geometrycznym dane są wyrazy a4=16 i a6=1. Piąty wyraz tego ciągu jest równy

W niemonotonicznym ciągu geometrycznym dane są wyrazy \(a_{4}=16\) i \(a_{6}=1\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy:

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego możemy zapisać, że:
$$a_{6}=a_{4}\cdot q^2 \\
1=16\cdot q^2 \\
q^2=\frac{1}{16} \\
q=\frac{1}{4} \quad\lor\quad q=-\frac{1}{4}$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości piątego wyrazu ciągu.
Wyszły nam dwa różne ilorazy ciągu geometrycznego, dlatego rozpatrzmy dwie możliwości:
Gdy \(q=\frac{1}{4}\):
\(a_{5}=a_{4}\cdot q \\
a_{5}=16\cdot\frac{1}{4} \\
a_{5}=4\)

Czyli mamy ciąg malejący: \((...,16,4,1,...)\).

Gdy \(q=-\frac{1}{4}\):
\(a_{5}=a_{4}\cdot q \\
a_{5}=16\cdot\left(-\frac{1}{4}\right) \\
a_{5}=-4\)

Czyli mamy ciąg niemonotoniczny: \((...,16,-4,1,...)\).

Z treści zadania wiemy, że nasz ciąg miał być niemonotoniczny (czyli raz miał być rosnący, raz malejący), a taka sytuacja ma miejsce w tym drugim przypadku. Z tego też względu \(a_{5}=-4\).

Odpowiedź

B

Dodaj komentarz