W koszyku jest pięć kul o numerach 1, 2, 3, 6, 9. Losujemy kolejno bez zwracania trzy kule i zapisujemy ich numery

W koszyku jest pięć kul o numerach \(1, 2, 3, 6, 9\). Losujemy kolejno bez zwracania trzy kule i zapisujemy ich numery, tworząc liczbę trzycyfrową: numer pierwszej wylosowanej kuli jest cyfrą setek, drugiej - cyfrą dziesiątek, a trzeciej - cyfrą jedności zapisanej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy liczbę podzielną przez \(3\). Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.

Rozwiązanie

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Skoro kule losowane są bez zwracania i losujemy trzy kule, to za pierwszym razem możemy wyciągnąć jedną z pięciu kul, za drugim razem jedną z czterech kul (bo jedna jest już odrzucona), a za trzecim razem jedną z trzech kul (bo dwie są już odrzucone). To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć \(|Ω|=5\cdot4\cdot3=60\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającymi zdarzeniami są wszystkie te sytuacje w których wylosowana liczba jest podzielna przez \(3\). Aby liczba była podzielna przez \(3\) to suma jej cyfr musi być podzielna przez \(3\). Musimy się więc najpierw zastanowić jakie komplety trzech cyfr dadzą nam oczekiwaną sumę. Przy okazji trzeba pamiętać, że liczby nie mogą się powtarzać (bo losowanie jest bez zwracania). W związku z tym pasującymi kompletami będą:
$$\{1,2,3\}, \{1,2,6\}, \{1,2,9\}, \{3,6,9\}$$

Ale to nie koniec. To, że mamy cztery komplety takich cyfr nie kończy obliczania liczby zdarzeń sprzyjających, bo tak przykładowo z kompletu cyfr \(1,2,3\) możemy otrzymać np. \(123, 132, 321\) i inne. Musimy się więc jeszcze zastanowić ile liczb z każdej takiej "trójki" cyfr możemy ułożyć. Z reguły mnożenia wynika, że z każdej takiej trójki ułożymy \(3\cdot2\cdot1=6\) liczb. Skoro mamy cztery takie komplety trójek, to łącznie wszystkich zdarzeń sprzyjających będziemy mieć \(4\cdot6=24\), stąd też możemy napisać, że \(|A|=24\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{24}{60}=\frac{2}{5}$$

Odpowiedź

\(P(A)=\frac{2}{5}\)

Dodaj komentarz