Rozwiązanie
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania będzie wyglądać w następujący sposób:
Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).
Znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) możemy bez problemy wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez te punkty. Najprościejędzie skorzystać z metody układu równań - w tym celu do równania \(y=ax+b\) musimy podstawić najpierw współrzędne punktu \(A\), potem \(B\), a następnie rozwiązać powstały układ równań:
\begin{cases}
3=-a+b \\
1=5a+b
\end{cases}
Odejmując te równania stronami, otrzymamy:
$$2=-6a \\
a=-\frac{1}{3}$$
Znając wartość współczynnika \(a\), możemy podstawić ją teraz do wybranego równania (np. pierwszego) i obliczyć wartość współczynnika \(b\):
$$3=-\left(-\frac{1}{3}\right)+b \\
3=\frac{1}{3}+b \\
b=2\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$$
Tym samym prosta \(AB\) będzie wyrażać się równaniem \(y=-\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}\).
Krok 3. Wyznaczenie równania prostej \(k\).
Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Z treści zadania wynika, że prosta \(k\) jest równoległa do prostej \(BD\), która to prosta ma współczynnik \(a=-\frac{3}{2}\). Tym samym możemy stwierdzić, że prostą \(k\) można opisać równaniem \(y=-\frac{3}{2}x+b\). Brakujący współczynnik \(b\) obliczymy podstawiając do tego równania współrzędne punktu \(C\) przez który ta prosta przechodzi, zatem:
$$5=-\frac{3}{2}\cdot7+b \\
5=-10\frac{1}{2}+b \\
b=15\frac{1}{2}=\frac{31}{2}$$
Tym samym prosta \(k\) wyraża się równaniem \(y=-\frac{3}{2}x+\frac{31}{2}\).
Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(P\).
Nasz poszukiwany punkt \(P\) będzie miejscem przecięcia się prostych \(AB\) oraz \(k\). Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że aby poznać współrzędne takiego miejsca przecięcia się prostych, wystarczy rozwiązać następujący układ równań:
\begin{cases}
y=-\frac{1}{3}x+\frac{8}{3} \\
y=-\frac{3}{2}x+\frac{31}{2}
\end{cases}
Korzystając z metody podstawiania, możemy zapisać, że:
$$-\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}=-\frac{3}{2}x+\frac{31}{2} \quad\bigg/\cdot6 \\
-2x+16=-9x+93 \\
7x=77 \\
x=11$$
Znamy już współrzędną \(x\), zatem aby poznać współrzędną \(y\) wystarczy podstawić obliczone \(x=11\) do jednego z równań z układu (np. pierwszego), otrzymując:
$$y=-\frac{1}{3}\cdot11+\frac{8}{3} \\
y=-\frac{11}{3}+\frac{8}{3} \\
y=-1$$
Tym samym \(P=(11,-1)\).
