W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest okrąg O o równaniu (x-1)^2+(y+2)^2=5

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Jeśli podany punkt należy do okręgu, to podstawiając jego współrzędne do naszego równania powinniśmy otrzymać sytuację, w której lewa i prawa strona równania są sobie równe. Podstawiajaąc zatem \(x=-1\) oraz \(y=-3\), otrzymamy:
$$(-1-1)^2+(-3+2)^2=5 \\
(-2)^2+(-1)^2=5 \\
4+1=5 \\
5=5 \\
L=P$$

Otrzymany wynik oznacza, że podany punkt należy do okręgu, czyli zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Równanie okręgu zapisujemy w postaci \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), gdzie \(r\) to promień okręgu. Z podanego w treści zadania równania możemy odczytać, że \(r^2=5\), więc tym samym \(r=\sqrt{5}\). Zdanie jest więc fałszem.

D

Z równania podanego w treści zadania możemy wywnioskować, że nasz początkowy okrąg jest okręgiem o środku w punkcie \(S=(1;-2)\) oraz promieniu \(r=\sqrt{5}\). Symetria względem początku układu współrzędnych sprawia, że współrzędne środka okręgu (oraz wszystkie inne punkty tego okręgu) zmienią swoje współrzędne \(x\) oraz \(y\) na przeciwne. Mówiąc wprost, środkiem takiego okręgu nie będzie już punkt o współrzędnych \((1,-2)\), tylko o współrzędnych \((-1,2)\). Promień okręgu pozostanie bez zmian.

Mówiąc więc wprost - musimy znaleźć równanie okręgu, którego środek znajduje się w punkcie \((-1,2)\) i którego promień \(r=\sqrt{5}\). Takim równaniem będzie oczywiście \((x-(-1))^2+(y-2)^2=5\), czyli \((x+1)^2+(y-2)^2=5\)