Rozwiązanie
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka \(AB\).
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na środek odcinka w układzie współrzędnych. Środek odcinka \(AB\) o współrzędnych \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) możemy opisać wzorem:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$
Znamy współrzędne obydwu końców odcinka, zatem:
$$S=\left(\frac{2+10}{2};\frac{8+2}{2}\right) \\
S=\left(\frac{12}{2};\frac{10}{2}\right) \\
S=(6;5)$$
Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).
Zanim wyznaczymy symetralną, musimy wyznaczyć równanie prostej \(AB\). Możemy albo skorzystać ze wzoru z tablic, albo z metody układu równań. Układ równań jest znacznie prostszy, dlatego zastosujmy tę metodę. W tym celu do postaci \(y=ax+b\) musimy podstawić najpierw współrzędne punktu \(A\), a potem \(B\), otrzymując taki oto układ:
\begin{cases}
8=2a+b \\
2=10a+b
\end{cases}
Ten układ możemy rozwiązać dowolną z metodą, ale najprościej będzie po prostu odjąć te równania stronami, otrzymując:
$$6=-8a \\
a=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}$$
Znając wartość współczynnika \(a=-\frac{3}{4}\) możemy teraz obliczyć współczynnik \(b\). Podstawiając \(a=-\frac{3}{4}\) do np. pierwszego równania, otrzymamy:
$$8=2\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)+b \\
8=-\frac{6}{4}+b \\
b=9\frac{1}{2}$$
To onacza, że naszą prostą \(AB\) możemy opisać równaniem \(y=-\frac{3}{4}x+9\frac{1}{2}\).
Krok 3. Wyznacznie symetralnej odcinka \(AB\).
Symetralna odcinka to prosta prostopadła, która przechodzi przez środek tego odcinka. Mówiąc wprost - szukamy prostej prostopadłej do prostej \(y=-\frac{3}{4}x+9\frac{1}{2}\), która przechodzi przeez punkt \(S=(6;5)\). Dwie proste są względem sobie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych będzie równy \(-1\). To oznacza, że nasza prosta prostopadła musi mieć współczynnik \(a=\frac{4}{3}\), ponieważ \(\frac{4}{3}\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)=-1\). Możemy więc już powiedzieć, że symetralna wyraża się równaniem \(y=\frac{4}{3}x+b\).
Aby poznać brakujący współczynnik \(b\), musimy teraz do naszego równania podstawić współrzędne punktu \(S=(6;5)\), zatem:
$$5=\frac{4}{3}\cdot6+b \\
5=8+b \\
b=-3$$
To oznacza, że nasza symetralna wyraża się równaniem \(y=\frac{4}{3}x-3\).
Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(P\).
Punkt \(P\) leży na osi \(Ox\), czyli na pewno współrzędna \(y=0\). Musimy więc już tylko wyznaczyć współrzędną \(x\) tego punktu, a obliczymy to, podstawiając \(y=0\) do wyznaczonej przed chwilą symetralnej odcinka \(AB\), na której ten punkt \(P\) przecież się znajduje:
$$0=\frac{4}{3}x-3 \\
\frac{4}{3}x=3 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{4} \\
x=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}$$
To oznacza, że \(P=\left(2\frac{1}{4};0\right)\).
Krok 5. Obliczenie długości odcinka \(AP\).
Na koniec została nam do policzenia długość odcinka \(AP\). Znamy współrzędne punktów \(A\) oraz \(P\), więc wystarczy podstawić te dane do wzoru na długość odcinka:
$$|AP|=\sqrt{(x_{P}-x_{A})^2+(y_{P}-y_{A})^2} \\
|AP|=\sqrt{(2\frac{1}{4}-2)^2+(0-8)^2} \\
|AP|=\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2+(-8)^2} \\
|AP|=\sqrt{\frac{1}{16}+64} \\
|AP|=\sqrt{64\frac{1}{16}}$$
Wydaje się, że jest to już najlepszy wynik jaki możemy zapisać, ale jeśli ktoś by jeszcze chciał, to można byłoby ten wynik jeszcze rozpisać w następujący sposób:
$$|AP|=\sqrt{\frac{1025}{16}} \\
|AP|=\frac{\sqrt{1025}}{4} \\
|AP|=\frac{\sqrt{25\cdot41}}{4} \\
|AP|=\frac{5\sqrt{41}}{4}$$
