Rozwiązanie
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania wygląda mniej więcej w ten sposób:
Kluczem do sukcesu będzie dostrzeżenie, że zadanie można oprzeć na obliczaniu środków odcinków. Punkt \(P\) jest środkiem odcinka \(AS\) (znamy współrzędne \(A\) oraz \(P\), więc tak właśnie wyliczymy \(S\)), a jak już poznamy współrzędne punktu \(S\), to ponownie skorzystamy ze wzoru na środek odcinka i obliczymy współrzędne punktu \(B\).
Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(S\).
Spójrzmy najpierw na odcinek \(AS\), którego środkiem będzie punkt \(P\). W zadaniu skorzystamy ze wzoru na środek odcinka, czyli:
$$P=\left(\frac{x_{A}+x_{S}}{2};\frac{y_{A}+y_{S}}{2}\right)$$
Znamy współrzędne \(P\) środka odcinka oraz znamy też współrzędne punktu \(A\), więc możemy wyznaczyć poszukiwane współrzędne punktu \(S\). Dla lepszej przejrzystości obliczeń możemy obliczyć oddzielnie współrzędne \(x_{S}\) oraz \(y_{S}\), zatem:
$$x_{P}=\frac{x_{A}+x_{S}}{2} \\
3=\frac{1+x_{S}}{2} \\
6=1+x_{S} \\
x_{S}=5$$
$$y_{P}=\frac{y_{A}+y_{S}}{2} \\
1=\frac{7+y_{S}}{2} \\
2=7+y_{S} \\
y_{S}=-5$$
To oznacza, że \(S=(5;-5)\).
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Teraz spoglądamy na odcinek \(AB\), którego środkiem jest nasz wyznaczony przed chwilą punkt \(S\). Analogicznie więc do poprzedniego kroku, korzystamy ze wzoru na środek odcinka i wyznaczamy w ten sposób współrzędne punktu \(B\):
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
5=\frac{1+x_{B}}{2} \\
10=1+x_{B} \\
x_{B}=9$$
$$y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\
-5=\frac{7+y_{B}}{2} \\
-10=7+y_{B} \\
y_{B}=-17$$
To oznacza, że \(B=(9;-17)\).
