Rozwiązanie
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy oraz wysokości graniastosłupa.
Jeżeli stosunek krawędzi podstawy do wysokości wynosi \(\frac{1}{4}\), to możemy przyjąć, że krawędź podstawy ma długość \(a\), natomiast \(H=4a\). Wiedząc, że objętość tej bryły wynosi \(108\), możemy zapisać, że:
$$V=a\cdot b\cdot c \\
108=a\cdot a\cdot4a \\
108=4a^3 \\
a^3=27 \\
a=3$$
Tym samym krawędź podstawy ma długość \(a=3\), natomiast wysokość to \(H=4\cdot3=12\).
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa.
Znając wszystkie wymiary, możemy od razu obliczyć pole powierzchni całkowitej graniastosłupa. Mamy dwie podstawy, które są kwadratami o boku \(3\) oraz cztery ściany boczne, które są prostokątami o wymiarach \(3\times12\), zatem:
$$P_{c}=2\cdot3^2+4\cdot3\cdot12 \\
P_{c}=2\cdot9+144 \\
P_{c}=18+144 \\
P_{c}=162$$
Krok 3. Obliczenie długości przekątnej graniastosłupa.
Do obliczenia cosinusa podanego kąta, potrzebujemy poznać długość przekątnej graniastosłupa. Kluczowy będzie tutaj trójkąt prostokątny, który tworzą przekątna podstawy, wysokość bryły oraz właśnie przekątna graniastosłupa.
Skoro w podstawie mamy kwadrat o boku \(3\), to jego przekątna ma długość \(3\sqrt{2}\). Wysokość to jak już ustaliśmy \(H=12\), zatem korzystając z twierdzenia Pitagorasa, możemy zapisać, że:
$$(3\sqrt{2})^2+12^2=s^2 \\
9\cdot2+144=s^2 \\
s^2=162 \\
s=\sqrt{162} \quad\lor\quad s=-\sqrt{162}$$
Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo przekątna bryły musi być dodatnia, stąd też zostaje nam \(s=\sqrt{162}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(s=\sqrt{81\cdot2}=9\sqrt{2}\).
Krok 4. Obliczenie cosinusa kąta \(\alpha\).
Cosinus opisuje stosunek długości przyprostokątnej przy kącie względem przeciwprostokątnej, zatem w naszym przypadku będzie to:
$$cos\alpha=\frac{3\sqrt{2}}{9\sqrt{2}} \\
cos\alpha=\frac{1}{3}$$
