W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDEFGH\) przekątna \(AC\) podstawy ma długość \(4\). Kąt \(ACE\) jest równy \(60°\). Oblicz objętość ostrosłupa \(ABCDE\) przedstawionego na poniższym rysunku.
Skorzystamy tutaj z trójkąta prostokątnego \(ACE\). Znamy długość \(|AC|=4\) i znamy też miarę jednego z kątów \(|\sphericalangle ACE|=60°\). Te dwie dane posłużą nam do wyznaczenia wysokości graniastosłupa (czyli \(AE\)), a skorzystamy tutaj z funkcji tangensa:
$$tg60°=\frac{|AE|}{|AC|} \\
\sqrt{3}=\frac{|AE|}{4} \\
|AE|=4\sqrt{3}$$
Skoro jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny, to znaczy że w swojej podstawie ma on kwadrat. Znamy przekątną tego kwadratu i jest ona równa \(d=|AC|=4\). Z własności kwadratu wiemy też, że \(d=a\sqrt{2}\), a to pozwoli nam szybko wyliczyć długość krawędzi podstawy:
$$4=a\sqrt{2} \\
a=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$$
Ta długość przyda nam się teraz do obliczenia pola podstawy.
Skoro w podstawie mamy kwadrat o boku \(a=2\sqrt{2}\), to pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=(2\sqrt{2})^2=4\cdot2=8$$
Musimy teraz obliczyć objętość ostrosłupa. Znamy jego wysokość \(h=4\sqrt{3}\), obliczyliśmy także że \(P_{p}=8\), więc wystarczy już tylko podstawić te dane do standardowego wzoru na objętosć ostrosłupów:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot8\cdot4\sqrt{3} \\
V=\frac{32\sqrt{3}}{3}$$
\(V=\frac{32\sqrt{3}}{3}\)

W ostatnim Punkcie obliczyliście objętość ostrosłupa a w zadaniu mamy graniastosłup.
Powinno być:
V=Pp*H
Czyli V=32V3
Uważnie wczytaj się w zadanie – mamy policzyć objętość ostrosłupa ABCDE :)
Czy do obliczenia wysokości możemy skorzystać również z własności trójkąta 60,30 i 90?
Jasne :)