W gospodarstwie ogrodniczym zapakowano 480 róż do pewnej liczby kartonów

W gospodarstwie ogrodniczym zapakowano \(480\) róż do pewnej liczby kartonów. Gdyby jednak do każdego kartonu włożono o \(3\) róże mniej, to do zapakowania tej samej ilości róż należałoby użyć o \(8\) kartonów więcej. Do ilu kartonów zapakowano pierwotnie róże i ile róż było w każdym kartonie?

Rozwiązanie

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy sobie do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - liczba róż w pojedynczym kartonie
\(y\) - liczba kartonów

Wiemy, że zapakowano \(480\) róż, zatem możemy zapisać, że:
$$x\cdot y=480$$

Dodatkowo wiemy, że gdyby do kartonu włożono o \(3\) róże mniej, to trzeba byłoby użyć \(8\) kartonów więcej, czyli:
$$(x-3)(y+8)=480$$

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie układu równań
Z dwóch zapisanych równań w poprzednim kroku możemy zbudować następujący układ równań.
\begin{cases}
x\cdot y=480 \\
(x-3)(y+8)=480
\end{cases}

Ten układ równań najszybciej rozwiążemy metodą podstawiania, wyznaczając np. wartość \(x\) z pierwszego równania:
\begin{cases}
x=\frac{480}{y} \\
(x-3)(y+8)=480
\end{cases}

Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$\require{cancel}
\left(\frac{480}{y}-3\right)(y+8)=480 \\
\cancel{480}+\frac{3840}{y}-3y-24=\cancel{480} \\
-3y-24+\frac{3840}{y}=0 \quad\bigg/\cdot y \\
-3y^2-24y+3840=0 \quad\bigg/:(-3) \\
y^2+8y-1280=0$$

Ostatnie dzielenie przez \(-3\) nie było konieczne, ale dzięki temu za chwilę będziemy działać na nieco mniejszych liczbach.

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które klasycznie obliczymy za pomocą delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=8,\;c=-1280\)
$$Δ=b^2-4ac=8^2-4\cdot1\cdot(-1280)=64-(-5120)=5184 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{5184}=72$$

$$y_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-8-72}{2\cdot1}=\frac{-80}{2}=-40 \\
y_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-8+72}{2\cdot1}=\frac{64}{2}=32$$


Krok 4. Określenie liczby kartonów oraz róż w pojedynczym kartonie.
Zacznijmy od liczby kartonów. Z równania kwadratowego wyszło nam, że \(y=-40\) oraz \(y=32\). Oczywiście ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo liczba kartonów nie może być ujemna. W związku z tym już wiemy, że \(y=32\), czyli że pierwotnie były \(32\) kartony. Musimy jeszcze obliczyć ilość róż, zatem korzystając z dowolnego równania z układu równań (np. z pierwszego) wyjdzie nam, że:
$$x\cdot y=480 \\
x\cdot32=480 \\
x=15$$

To oznacza, że w pojedynczym kartonie znalazło się \(15\) róż, a samych kartonów było pierwotnie \(32\).

Odpowiedź

Róże zapakowano do \(32\) kartonów, a w każdym kartonie było \(15\) sztuk.

Dodaj komentarz