W dziewięciowyrazowym ciągu geometrycznym o wyrazach dodatnich pierwszy wyraz jest równy 12

W dziewięciowyrazowym ciągu geometrycznym o wyrazach dodatnich pierwszy wyraz jest równy \(3\), a ostatni wyraz jest równy \(12\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy:

\(3\sqrt[4]{2}\)
\(6\)
\(7\frac{1}{2}\)
\(8\frac{1}{7}\)
Rozwiązanie:
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.

$$a_{1}=3 \\
a_{9}=12 \\
a_{5}=?$$

Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego możemy rozpisać czym jest piąty i dziewiąty wyraz tego ciągu:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{5}=a_{1}\cdot q^{4} \\
a_{9}=a_{1}\cdot q^{8}$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(q^4\).

Do wyznaczenia wartości piątego wyrazu brakuje nam znajomości wartości \(q^4\) (lub też samego \(q\), gdyby była taka możliwość). Spróbujmy wyznaczyć to brakujące \(q^4\) z wartości dziewiątego wyrazu, którą przecież znamy:
$$a_{9}=a_{1}\cdot q^{8} \\
12=3\cdot q^{8} \quad\bigg/:3 \\
4=q^8 \quad\bigg/\sqrt{} \\
q^4=2 \quad\lor\quad q^4=-2$$

Skoro wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie, to \(q^4=2\) (odrzucamy więc ujemne rozwiązanie).

Krok 3. Obliczenie wartości piątego wyrazu.

Znając wartość \(a^4=2\) bez problemu obliczymy już wartość piątego wyrazu:
$$a_{5}=a_{1}\cdot q^{4} \\
a_{5}=3\cdot2 \\
a_{5}=6$$

Odpowiedź:

B. \(6\)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.