W dziewięciowyrazowym ciągu geometrycznym o wyrazach dodatnich pierwszy wyraz jest równy \(3\), a ostatni wyraz jest równy \(12\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy:
$$a_{1}=3 \\
a_{9}=12 \\
a_{5}=?$$
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego możemy rozpisać czym jest piąty i dziewiąty wyraz tego ciągu:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{5}=a_{1}\cdot q^{4} \\
a_{9}=a_{1}\cdot q^{8}$$
Do wyznaczenia wartości piątego wyrazu brakuje nam znajomości wartości \(q^4\) (lub też samego \(q\), gdyby była taka możliwość). Spróbujmy wyznaczyć to brakujące \(q^4\) z wartości dziewiątego wyrazu, którą przecież znamy:
$$a_{9}=a_{1}\cdot q^{8} \\
12=3\cdot q^{8} \quad\bigg/:3 \\
4=q^8 \quad\bigg/\sqrt{} \\
q^4=2 \quad\lor\quad q^4=-2$$
Skoro wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie, to \(q^4=2\) (odrzucamy więc ujemne rozwiązanie).
Znając wartość \(a^4=2\) bez problemu obliczymy już wartość piątego wyrazu:
$$a_{5}=a_{1}\cdot q^{4} \\
a_{5}=3\cdot2 \\
a_{5}=6$$
B. \(6\)
Nie rozumiem w ogóle tego zapisu, czemu mnożymy razy pierwiastek
W trakcie obliczeń otrzymaliśmy równanie q^8=4. Możemy oczywiście obliczyć wartość q, ale jest to dość trudne do wykonania w pamięci. Tutaj spryt powinien nam podpowiedzieć, że skoro do dalszych obliczeń potrzebujemy q^4 to wystarczy spierwiastkować obydwie strony równania i wtedy właśnie otrzymamy, że q^4 jest równe 2.
Zamiast takiego dużego rozpisania można było też skorzystać z zależności na sąsiednie wyrazy ciągu gdzie uszeregować można 3,x,12 z czego x^2= 3×12
x^2=36 czyli x=6 lub x=-6 a że wartości są dodatnie to wynik x=6