W ciągu geometrycznym trzeci wyraz jest równy 32/3, a drugi wyraz jest równy 16

W ciągu geometrycznym trzeci wyraz jest równy \(\frac{32}{3}\), a drugi wyraz jest równy \(16\). Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu.

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając dane z treści zadania do tego równania otrzymamy:
$$16^2=a_{1}\cdot\frac{32}{3} \\
256=a_{1}\cdot\frac{32}{3} \quad\bigg/\cdot3 \\
768=32a_{1} \\
a_{1}=24$$

Krok 2. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Korzystając ze znajomości wartości np. pierwszego i drugiego wyrazu możemy zapisać, że:
$$a_{1}\cdot q=a_{2} \\
24\cdot q=16 \\
q=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}$$

Odpowiedź

\(a_{1}=24\) oraz \(q=\frac{2}{3}\)

Dodaj komentarz