W ciągu geometrycznym an o dodatnich wyrazach trzeci wyraz jest równy 6, a piąty jest równy 24

W ciągu geometrycznym \((a_{n})\) o dodatnich wyrazach trzeci wyraz jest równy \(6\), a piąty jest równy \(24\). Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu.

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
W treści zadania mamy podaną wartość trzeciego i piątego wyrazu. Na tej podstawie możemy obliczyć iloraz ciągu geometrycznego:
$$a_{5}=a_{3}\cdot q^2 \\
24=6\cdot q^2 \\
q^2=4 \\
q=2 \quad\lor\quad q=-2$$

Ujemny iloraz musimy odrzucić, a to dlatego że nasz ciąg geometryczny zawiera same dodatnie wyrazy. Przy \(q=-2\) ciąg byłby niemonotoniczny, czyli raz mielibyśmy wyrazy dodatnie, a raz ujemne.

Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając iloraz \(q\) i znając wartość np. trzeciego wyrazu, możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu w następujący sposób:
$$a_{3}=a_{1}\cdot q^2 \\
6=a_{1}\cdot2^2 \\
6=a_{1}\cdot4 \\
a_{1}=1,5$$

Odpowiedź

\(a_{1}=1,5\) oraz \(q=2\)

Dodaj komentarz