W ciągu geometrycznym \((a_{n})\) dane są \(a_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) i \(a_{3}=-\frac{3}{2}\). Wtedy wyraz \(a_{1}\) jest równy:
\(-\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{2}\)
\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Rozwiązanie:
Znając wartości drugiego i trzeciego wyrazu ciągu możemy bez problemu obliczyć wartość ilorazu \(q\), a następnie każdy dowolny wyraz tego ciągu. My w tym zadaniu jednak skorzystamy z dużo prostszej metody, która mówi o tym, że między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi równość: \({a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}\). Dzięki temu unikniemy trudnych obliczeń na pierwiastkach i liczbach ujemnych.
Korzystając z opisanej zależności otrzymujemy równanie:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \\
\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=a_{1}\cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \\
\frac{3}{4}=-\frac{3}{2}a_{1} \quad\bigg/\cdot\left(-\frac{2}{3}\right) \\
a_{1}=-\frac{2}{4} \\
a_{1}=-\frac{1}{2}$$
Odpowiedź:
A. \(-\frac{1}{2}\)
