W ciągu arytmetycznym an, określonym dla n≥1, dane są: wyraz a1=8 i suma trzech początkowych

W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), dane są: wyraz \(a_{1}=8\) i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu \(S_{3}=33\). Oblicz różnicę: \(a_{16}-a_{13}\).

Rozwiązanie:
Krok 1. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.

Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciąg arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$a_{2}=a_{1}+r \\
a_{3}=a_{1}+2r$$

Skoro \(a_{1}=8\) oraz suma trzech początkowych wyrazów jest równa \(S_{3}=33\), to:
$$S_{3}=33 \\
a_{1}+a_{2}+a_{3}=33 \\
a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r=33 \\
3\cdot8+3r=33 \\
24+3r=33 \\
3r=9 \\
r=3$$

Krok 2. Obliczenie wartości różnicy \(a_{16}-a_{13}\).

$$a_{16}=a_{1}+15r \\
a_{13}=a_{1}+12r$$

Zatem:
$$a_{16}-a_{13}=a_{1}+15r-(a_{1}+12r)=3r=3\cdot3=9$$

Odpowiedź:

\(a_{16}-a_{13}=9\)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.