W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), dane są: wyraz \(a_{1}=8\) i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu \(S_{3}=33\). Oblicz różnicę: \(a_{16}-a_{13}\).
Rozwiązanie:
Krok 1. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciąg arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$a_{2}=a_{1}+r \\
a_{3}=a_{1}+2r$$
Skoro \(a_{1}=8\) oraz suma trzech początkowych wyrazów jest równa \(S_{3}=33\), to:
$$S_{3}=33 \\
a_{1}+a_{2}+a_{3}=33 \\
a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r=33 \\
3\cdot8+3r=33 \\
24+3r=33 \\
3r=9 \\
r=3$$
Krok 2. Obliczenie wartości różnicy \(a_{16}-a_{13}\).
$$a_{16}=a_{1}+15r \\
a_{13}=a_{1}+12r$$
Zatem:
$$a_{16}-a_{13}=a_{1}+15r-(a_{1}+12r)=3r=3\cdot3=9$$
Odpowiedź:
\(a_{16}-a_{13}=9\)
A skąd się pojawiło 15r i 12r?
Wynika to ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego (patrz: Krok 1.). Jak podstawimy n=16 (bo w działaniu mamy szesnasty wyraz) to otrzymamy właśnie a16=a1+15r. Analogicznie jest jak podstawimy n=13 (bo mamy w działaniu trzynasty wyraz).
Czy nie dałoby się tego rozwiązać poprzez obliczenie a3 ze wzoru na sumę, następnie obliczyć a2 ze wzoru na sąsiednie wyrazy, obliczyć różnicę i wyznaczyć wyrazy, o które proszą?
Ale po co chcesz liczyć a3 oraz a2? Żeby poznać różnicę? Jeśli tak, to i tak nie przeskoczysz tego wyliczenia różnicy jak w moim rozwiązaniu ;)
a gdybym zrobił a1=s3-s2 to wyszłoby?
Ale nie wiesz ile to jest S2 ;)
Ja policzyłem zupełnie innym sposobem i uzyskałem ten sam wynik