W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), dane są dwa wyrazy: \(a_{2}=11\) i \(a_{4}=7\). Suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
\(36\)
\(40\)
\(13\)
\(20\)
Rozwiązanie:
Krok 1. Obliczenie wartości trzeciego wyrazu.
Znając wartość drugiego i czwartego wyrazu możemy obliczyć wartość trzeciego wyrazu:
$$a_{3}=\frac{a_{2}+a_{4}}{2} \\
a_{3}=\frac{11+7}{2} \\
a_{3}=\frac{18}{2} \\
a_{3}=9$$
Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego (\(r\)).
Wybieramy dwa kolejne wyrazy i obliczamy różnicę ciągu:
$$r=a_{3}-a_{2} \\
r=9-11 \\
r=-2$$
Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
$$a_{1}=a_{2}-r \\
a_{1}=11-(-2) \\
a_{1}=11+2 \\
a_{1}=13$$
Krok 4. Obliczenie wartości czterech pierwszych wyrazów.
Tak naprawdę obliczyliśmy wartości wszystkich czterech kolejnych wyrazów, więc możemy je po prostu do siebie dodać:
$$S_{4}=13+11+9+7=40$$
Ewentualnie moglibyśmy skorzystać z następującego wzoru:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{4}=\frac{a_{1}+a_{4}}{2}\cdot 4 \\
S_{4}=\frac{13+7}{2}\cdot 4 \\
S_{4}=\frac{20}{2}\cdot 4 \\
S_{4}=10\cdot 4 \\
S_{4}=40$$
Odpowiedź:
B. \(40\)
