W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla każdej liczby naturalnej n≥1, a1=-1 i a4=8

W ciągu arytmetycznym $(a_{n})$, określonym dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$, $a_{1}=-1$ i $a_{4}=8$. Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Z treści zadania wiemy, że:
$$a_{1}=-1 \\
a_{4}=8$$

Korzystając ze wzory na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{4}=a_{1}+3r \\
8=-1+3r \\
9=3r \\
r=3$$

Krok 2. Obliczenie sumy $S_{100}$.
W zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę $n$-początkowych wyrazów, czyli:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$

Podstawiając teraz znane nam wartości oraz $n=100$ (bo interesuje nas suma stu pierwszych wyrazów), otrzymamy:
$$S_{100}=\frac{2\cdot(-1)+(100-1)\cdot3}{2}\cdot100 \\
S_{100}=\frac{-2+99\cdot3}{2}\cdot100 \\
S_{100}=\frac{-2+297}{2}\cdot100 \\
S_{100}=\frac{295}{2}\cdot100 \\
S_{100}=\frac{295}{2}\cdot100 \\
S_{100}=147,5\cdot100 \\
S_{100}=14750$$

Odpowiedź

$S_{100}=14750$

Zadania

W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla każdej liczby naturalnej n≥1, a1=-1 i a4=8

W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), \(a_{1}=-1\) i \(a_{4}=8\). Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.