W ciągu arytmetycznym an drugi wyraz jest równy 7, a szósty 17. Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu

W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\) drugi wyraz jest równy \(7\), a szósty \(17\). Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Rozwiązanie

Krok 1. Utworzenie układu równań.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$\begin{cases}
a_{2}=a_{1}+r \\
a_{6}=a_{1}+5r
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
7=a_{1}+r \\
17=a_{1}+5r
\end{cases}$$

Krok 2. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Musimy rozwiązać nasz układ równań. Możemy to zrobić metodą podstawiania (wyznaczając \(a_{1}\) z jednego równania i podstawiając to do drugiego równania), albo też możemy po prostu odjąć te równania stronami otrzymując:
$$-10=-4r \\
r=2\frac{1}{2}$$

Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając różnicę ciągu możemy teraz skorzystać z jednego z równań znajdujących się w układzie i możemy wyliczyć tym samym wartość pierwszego wyrazu:
$$a_{2}=a_{1}+r \\
7=a_{1}+2\frac{1}{2} \\
a_{1}=4\frac{1}{2}$$

Odpowiedź

\(a_{1}=4\frac{1}{2},\ r=2\frac{1}{2}\)

Dodaj komentarz