W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\) dane są: \(a_{3}=13\) i \(a_{5}=39\). Wtedy wyraz \(a_{1}\) jest równy:
To zadanie możemy rozwiązać tak naprawdę na dwa sposoby.
W ciągu arytmetycznym każda kolejna liczba jest powiększona lub pomniejszona o tą samą wartość. W związku z tym różnica między piątym i trzecim wyrazem będzie taka sama jak między trzecim i pierwszym.
Skoro: \(a_{5}-a_{3}=39-13=26\)
To: \(a_{3}-a_{1}\) także będzie równe \(26\)
W ten sposób powstaje nam równanie:
$$a_{3}-a_{1}=26 \\
13-a_{1}=26 \\
-a_{1}=13 \\
a_{1}=-13$$
Za pomocą wzorów z tablic matematycznych możemy wyznaczyć \(r\), czyli różnicę ciągu arytmetycznego.
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
Korzystając z tego wzoru i podstawiając wartości \(a_{3}\) oraz \(a_{5}\) otrzymamy układ równań:
\begin{cases}
a_{3}=a_{1}+(3-1)r \\
a_{5}=a_{1}+(5-1)r
\end{cases}\begin{cases}
13=a_{1}+2r \quad\bigg/\cdot2 \\
39=a_{1}+4r
\end{cases}\begin{cases}
26=2a_{1}+4r \\
39=a_{1}+4r
\end{cases}\begin{cases}
26-2a_{1}=4r \\
39=a_{1}+4r
\end{cases}
Korzystamy z metody podstawiania, podstawiając za \(4r\) z pierwszego równania wartość \(26-2a_{1}\) i w ten sposób otrzymujemy:
$$39=a_{1}+26-2a_{1} \\
13=-a_{1} \\
a_{1}=-13$$
C. \(-13\)
