Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2

Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(2\).

Rozwiązanie:

\(n\) – pierwsza liczba
\(n+1\) – druga liczba
\(n+2\) – trzecia liczba

Każdą z liczb podniesiemy teraz do kwadratu (zgodnie z treścią zadania) i spróbujemy całość doprowadzić do takiej sytuacji, by wyłączyć trójkę lub jej wielokrotność przed nawias, zatem:
$$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2= \\
=n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4= \\
=3n^2+6n+5= \\
=3(n^2+2n+1)+2$$

Doprowadzenie równania do takiej postaci kończy nasze dowodzenie, bowiem dwójka stojąca na samym końcu jest właśnie resztą z dzielenia.

Odpowiedź:

Uzasadniono wyprowadzając odpowiednie czynniki przed nawias.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.