Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez 3, to jej kwadrat przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1

Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez \(3\), to jej kwadrat przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(1\).

Rozwiązanie:
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.

\(n\) – liczba naturalna
\(3n\) – liczba naturalna podzielna przez \(3\)
\(3n+1\) – liczba naturalna niepodzielna przez \(3\) (daje resztę równą \(1\))
\(3n+2\) – liczba naturalna niepodzielna przez \(3\) (daje resztę równą \(2\))

Musimy udowodnić, że liczby niepodzielne przez \(3\) (czyli \(3n+1\) oraz \(3n+2\)) podniesione do kwadratu dają resztę z dzielenia przez \(3\) równą \(1\).

Krok 2. Podniesienie do kwadratu liczb niepodzielnych przez \(3\).

Musimy zweryfikować obydwa warianty.
$$(3n+1)^2=9n^2+6n+1=3(3n^2+2n)+1 \\
(3n+2)^2=9n^2+12n+4=9n^2+12n+3+1=3(3n^2+4n+1)+1$$

W obydwu przykładach aby udowodnić, że liczba po podzieleniu przez \(3\) daje resztę równą \(1\) wyciągnęliśmy przed nawias trójkę. Skoro wolnym wyrazem który został nam na końcu tego wyniku jest jedynka, to dowód możemy uznać za zakończony, bo to będzie właśnie nasza reszta z dzielenia.

Odpowiedź:

Udowodniono podnosząc wyrażenia \(3n+1\) oraz \(3n+2\) do kwadratu.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.