Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez \(3\), to jej kwadrat przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(1\).
\(n\) – liczba naturalna
\(3n\) – liczba naturalna podzielna przez \(3\)
\(3n+1\) – liczba naturalna niepodzielna przez \(3\) (daje resztę równą \(1\))
\(3n+2\) – liczba naturalna niepodzielna przez \(3\) (daje resztę równą \(2\))
Musimy udowodnić, że liczby niepodzielne przez \(3\) (czyli \(3n+1\) oraz \(3n+2\)) podniesione do kwadratu dają resztę z dzielenia przez \(3\) równą \(1\).
Musimy zweryfikować obydwa warianty.
Podniesienie do kwadratu wyrażenia \(3n+1\):
$$(3n+1)^2=9n^2+6n+1= \\
=3(3n^2+2n)+1$$
Podniesienie do kwadratu wyrażenia \(3n+2\):
$$(3n+2)^2=9n^2+12n+4= \\
=9n^2+12n+3+1=3(3n^2+4n+1)+1$$
W obydwu przykładach aby udowodnić, że liczba po podzieleniu przez \(3\) daje resztę równą \(1\) wyciągnęliśmy przed nawias trójkę. Skoro wolnym wyrazem który został nam na końcu tego wyniku jest jedynka, to dowód możemy uznać za zakończony, bo to będzie właśnie nasza reszta z dzielenia.
Udowodniono podnosząc wyrażenia \(3n+1\) oraz \(3n+2\) do kwadratu.
Bardzo dziękuję za przejrzyste wyjaśnienie i rozwiązanie.
Jeśli taka liczba ma resztę 4, 5 itp. to już dzieli się przez 3?
Reszta z dzielenia nie powinna być większa niż sam dzielnik ;) Jak w wyniku jakichś przekształceń wyszłaby gdzieś np. reszta równa 5 przy dzieleniu przez 3, to tak naprawdę trzeba byłoby jeszcze tę piątkę podzielić przez 3, czyli mielibyśmy „jedną całość” i 2 reszty ;)