Uzasadnij, że jeżeli \(α\) jest kątem ostrym, to \(sin^4α+cos^2α=sin^2α+cos^4α\).
Rozwiązanie:
Najprościej będzie przeprowadzić dowód przekształcając lewą stronę tego równania przy użyciu jedynki trygonometrycznej.
$$sin^2α+cos^2α=1 \Rightarrow sin^2α=1-cos^2α$$
$$L=sin^4α+cos^2α \\
L=(sin^2α)^2+cos^2α \\
L=(1-cos^2α)^2+cos^2α \\
L=1-2\cdot1\cdot cos^2α+(cos^2α)^2+cos^2α \\
L=1-2cos^2α+cos^4α+cos^2α \\
L=\color{orange}{1-cos^2α}+cos^4α \\
L=\color{orange}{sin^2α}+cos^4α$$
Udało nam się doprowadzić lewą stronę równania do postaci \(sin^2α+cos^4α\), czyli dokładnie takiej postaci jaka znajduje się po prawej stronie równania z treści zadania. To oznacza, że dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Odpowiedź:
Udowodniono korzystając z jedynki trygonometrycznej.
Witam serdecznie! Chciałabym zapytać czy w tego typu zadaniach mogę sama założyć sobie, że np moje alfa= 30 stopni i na tej zasadzie sprawdzic czy równanie jest prawdziwe?
Próbowałam w ten sposób i faktycznie wychodzi, że L=P
Niestety w zadaniach dowodowych nie można podstawiać konkretnych danych bez żadnego uzasadnienia ;) Takie coś nie przejdzie i za zadanie będzie 0 punktów ;)
Ja doprowadziłem równanie do sin2a=cos2a i ze wzorów można odczytać, że to się zgadza bo przy wartości kata alfa 45 stopni obie funkcje maja wartość pierwiastek z 2 podzielić na 2. To zadanie można tak rozwiązać?
Takie uzasadnienie nie przejdzie, bo w zadaniach dowodowych nie można podstawiać wybranych przez siebie liczb „z sufitu”. Mówiąc bardzo obrazowo – udowodniłeś, że wszystko się zgadza dla kąta o mierze 45 stopni, ale nie wiesz nadal, czy to równanie jest prawdziwe dla kąta np. 44 stopnie ;)
a czy można wyliczyć cos2alfa z jedynki trygonometrycznej i podstawić pod oba wyrażenia? wtedy wyjdzie 0=0, czyli L=P, ale nie wiem czy taki sposób jest poprawny
No ten mój sposób sprowadza się właśnie do tego, że wyliczyłem sin^2 alfa i podstawiłem to do wyrażenia ;) Tak więc to co proponujesz jest jak najbardziej słuszne. Zobacz, tutaj też tak naprawdę mamy sin^2 alfa + cos^4 alfa=sin^2 alfa + cos^4 alfa co po skróceniu dałoby właśnie 0=0 ;)