Uzasadnij, że jeżeli alfa jest kątem ostrym, to sin^4 alfa+cos^2 alfa=sin^2 alfa+cos^4 alfa

Uzasadnij, że jeżeli \(α\) jest kątem ostrym, to \(sin^4α+cos^2α=sin^2α+cos^4α\).

Rozwiązanie:

Najprościej będzie przeprowadzić dowód przekształcając lewą stronę tego równania przy użyciu jedynki trygonometrycznej.
$$sin^2α+cos^2α=1 \Rightarrow sin^2α=1-cos^2α$$

$$L=sin^4α+cos^2α \\
L=(sin^2α)^2+cos^2α \\
L=(1-cos^2α)^2+cos^2α \\
L=1-2\cdot1\cdot cos^2α+(cos^2α)^2+cos^2α \\
L=1-2cos^2α+cos^4α+cos^2α \\
L=\color{orange}{1-cos^2α}+cos^4α \\
L=\color{orange}{sin^2α}+cos^4α$$

Udało nam się doprowadzić lewą stronę równania do postaci \(sin^2α+cos^4α\), czyli dokładnie takiej postaci jaka znajduje się po prawej stronie równania z treści zadania. To oznacza, że dowodzenie możemy uznać za zakończone.

Odpowiedź:

Udowodniono korzystając z jedynki trygonometrycznej.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.