Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej n liczba 3^n+2-2n+2+3^n-2^n jest wielokrotnością liczby 10

Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej \(n\) liczba \(3^{n+2}-2{n+2}+3^n-2^n\) jest wielokrotnością liczby \(10\).

Rozwiązanie:

Nasze zadanie tak naprawdę sprowadza się do znalezienia sposobu na wyłączenie przed nawias dziesiątki (lub jej wielokrotności), co ostatecznie udowodniłoby fakt, że ta liczba będzie wielokrotnością \(10\). Całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$3^{n+2}-2{n+2}+3^n-2^n \\
3^{n+2}+3^n-2{n+2}-2^n \\
3^n(3^2+1)-2^n(2^2+1) \\
3^n\cdot10-2^n\cdot5 \\
3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot2\cdot5 \\
3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot10 \\
10\cdot(3^n-2^{n-1})$$

Odpowiedź:

Udowodniono wyłączając odpowiedni czynnik przed nawias.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.