Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej \(n\) liczba \(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\) jest wielokrotnością liczby \(10\).
Rozwiązanie:
Nasze zadanie tak naprawdę sprowadza się do znalezienia sposobu na wyłączenie przed nawias dziesiątki (lub jej wielokrotności), co ostatecznie udowodniłoby fakt, że ta liczba będzie wielokrotnością \(10\). Całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n \\
3^{n+2}+3^n-2^{n+2}-2^n \\
3^n(3^2+1)-2^n(2^2+1) \\
3^n\cdot10-2^n\cdot5 \\
3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot2\cdot5 \\
3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot10 \\
10\cdot(3^n-2^{n-1})$$
Odpowiedź:
Udowodniono wyłączając odpowiedni czynnik przed nawias.
Dlaczego z 2n zrobilo się 2n-1 ×2
No to nie jest intuicyjne, rzekłbym nawet że jak na poziom podstawowy jest to dość trudna zamiana. Chodziło tutaj o to, by z 2^n wyciągnąć jedną dwójkę, tylko po to, by przemnożyć ją potem przez 5, tak aby otrzymać 10, które wyłączyliśmy przed nawias ;)