Udowodnij, że różnica kwadratów dowolnej liczby pierwszej p>2 i liczby o dwa od niej mniejszej jest podzielna przez 8

Udowodnij, że różnica kwadratów dowolnej liczby pierwszej \(p\gt2\) i liczby o dwa od niej mniejszej jest podzielna przez \(8\).

Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie wyrażenia na podstawie treści zadania.
Jeżeli przyjmiemy, że \(p\) jest dowolną liczbą pierwszą, to liczbą o dwa od niej mniejszą będzie liczba \(p-2\). W związku z tym skoro interesuje nas różnica kwadratów tych dwóch liczb, to musimy sprawdzić wartość wyrażenia:
$$p^2-(p-2)^2$$

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia możemy powyższe wyrażenie rozpisać jako:
$$p^2-(p^2-4p+4)=p^2-p^2+4p-4=4p-4=4\cdot(p-1)$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Skoro liczba \(p\) jest tak zwaną liczbą pierwszą, to na pewno jest to liczba nieparzysta (bo wszystkie liczby pierwsze są nieparzyste). Skoro tak, to liczba \(p-1\) (która znalazła się w nawiasie naszego przekształconego wyrażenia) będzie liczbą parzystą. Na matematyce liczby parzyste zapisujemy jako \(2n\), gdzie \(n\) jest liczbą nieparzystą. Nasze wyrażenie moglibyśmy więc zapisać jako:
$$4\cdot2n=8n$$

Otrzymany w ten sposób wynik dowodzi, że ta liczba musi być podzielna przez \(8\).

Odpowiedź

Udowodniono rozpisując wyrażenie i korzystając z informacji na temat liczb parzystych oraz nieparzystych.

Dodaj komentarz