Udowodnij, że nierówność (x^2-3)^2+x^4≥4 1/2 jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej

Udowodnij, że nierówność \((x^2-3)^2+x^4\ge4\frac{1}{2}\) jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej.

Rozwiązanie

Krok 1. Przeniesienie wyrazów na lewą stronę.
Naszym zadaniem będzie przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę oraz umiejętne skorzystanie z wzorów skróconego mnożenia. Całość będzie wyglądać następująco:
$$(x^2-3)^2+x^4\ge4\frac{1}{2} \\
(x^2-3)^2+x^4-4\frac{1}{2}\ge0 \\
x^4-6x^2+9+x^4-4\frac{1}{2}\ge0 \\
2x^4-6x^2+4\frac{1}{2}\ge0 \quad\bigg/\cdot2 \\
4x^4-12x^2+9\ge0 \\
(2x^2-3)^2\ge0$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Z racji tego iż każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny, to wartość \((2x^2-3)^2\) jest na pewno większa od zera lub równa zero, zatem faktycznie ta nierówność będzie spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.

Odpowiedź

Udowodniono upraszczając wyrażenie za pomocą wzorów skróconego mnożenia.

Dodaj komentarz