Udowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2

Udowodnij, że każda liczba całkowita $k$, która przy dzieleniu przez $7$ daje resztę $2$, ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby $3k^2$ przez $7$ jest równa $5$.

Rozwiązanie:

Jeżeli liczba $k$ przy dzieleniu przez $7$ daje resztę $2$ to możemy ją zapisać w postaci $k=7n+2$. Podstawiając tę postać do liczby $3k^2$ otrzymamy:
$$3k^2=3\cdot(7n+2)^2=3\cdot(49n^2+28n+4)=147n^2+84n+12$$

Teraz musimy udowodnić, że ta liczba którą otrzymaliśmy dzieli się przez $7$ i daje resztę $5$. Dobrze byłoby więc wyłączyć siódemkę przed nawias, ale przeszkadza nam w tym liczba $12$. Rozbijmy więc ją sobie na działanie $7+5$ i tak oto:
$$147n^2+84n+7+5=7\cdot(21n^2+12n+1)+5$$

W ten oto sposób pokazaliśmy, że dzieląc to wyrażenie przez $7$ otrzymamy jakąś liczbę całkowitą (opisaną jako $21n^2+12n+1$) i jeszcze zostanie nam $5$ reszty. Dowodzenie można więc uznać za zakończone.

Odpowiedź:

Udowodniono przedstawioną tezę zapisując liczbę $3k^2$ w postaci $7\cdot(21n^2+12n+1)+5$.

Zadania

Udowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2

Udowodnij, że każda liczba całkowita \(k\), która przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\), ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby \(3k^2\) przez \(7\) jest równa \(5\).