Udowodnij, że dla każdej ujemnej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x/9+4/x≤-4/3

Udowodnij, że dla każdej ujemnej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność $\frac{x}{9}+\frac{4}{x}\le-\frac{4}{3}$.

Rozwiązanie

Przekształcając nierówność otrzymamy następujący zapis:
$$\frac{x}{9}+\frac{4}{x}\le-\frac{4}{3} \quad\bigg/\cdot9 \\
x+\frac{36}{x}\le-12 \quad\bigg/\cdot x \\
x^2+36\ge-12x \\
x^2+12x+36\ge0 \\
(x+6)^2\ge0$$

Każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu jest większa lub równa $0$, zatem nasze dowodzenie możemy uznać za zakończone.

Odpowiedź

Udowodniono, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Zadania

Udowodnij, że dla każdej ujemnej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x/9+4/x≤-4/3

Udowodnij, że dla każdej ujemnej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(\frac{x}{9}+\frac{4}{x}\le-\frac{4}{3}\).