Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(3x^2+5y^2-4xy\ge0\).
W udowodnieniu prawidłowości tej nierówności najbardziej przeszkadza nam wyraz \(-4xy\). Gdyby nie on, to mielibyśmy pewność, że to wyrażenie jest większe od zera, bo suma potęg na pewno jest wartością nieujemną. Spróbujmy więc rozbić ten wielomian w taki sposób, by móc zastosować wzory skróconego mnożenia, które „wciągną” nam ten znak minusa. Tak naprawdę można to zrobić na kilka sposobów, a jednym z nich jest:
$$3x^2+5y^2-4xy\ge0 \\
2x^2+x^2+4y^2+y^2-4xy\ge0 \\
x^2-4xy+4y^2+2x^2+y^2\ge0 \\
(x-2y)^2+2x^2+y^2\ge0$$
Po prawej stronie otrzymaliśmy sumę trzech kwadratów. Każdy ze składników tego dodawania jest na pewno nieujemny, bo dowolna liczba podniesiona da wynik większy lub równy zero. To oznacza, że dowód możemy uznać za zakończony.
Udowodniono wykorzystując wzory skróconego mnożenia w celu przekształcenia nierówności.
