Udowodnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej ujemnej prawdziwa jest nierówność 9x+1/x≤-6

Udowodnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej ujemnej prawdziwa jest nierówność \(9x+\frac{1}{x}\le-6\).

Rozwiązanie

Skoro \(x\) ma być liczbą ujemną, to możemy pomnożyć obydwie strony tej nierówności przez \(x\), pamiętając jednak o tym, żeby zmienić w takiej sytuacji znak na przeciwny. To w zasadzie jest kluczowa pułapka w tym zadaniu. Na sam koniec otrzymane wyrażenie będziemy musieli "zwinąć" korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Całość będzie wyglądać następująco:
$$9x+\frac{1}{x}\le-6 \quad\bigg/\cdot x \\
9x^2+1\ge-6x \\
9x^2+6x+1\ge0 \\
(3x+1)^2\ge0$$

Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik większy lub równy \(0\), to dowód możemy uznać za zakończony.

Odpowiedź

Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Dodaj komentarz