Rozwiązanie
Skoro \(x\) ma być liczbą ujemną, to możemy pomnożyć obydwie strony tej nierówności przez \(x\), pamiętając jednak o tym, żeby zmienić w takiej sytuacji znak na przeciwny. To w zasadzie jest kluczowa pułapka w tym zadaniu. Na sam koniec otrzymane wyrażenie będziemy musieli "zwinąć" korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Całość będzie wyglądać następująco:
$$9x+\frac{1}{x}\le-6 \quad\bigg/\cdot x \\
9x^2+1\ge-6x \\
9x^2+6x+1\ge0 \\
(3x+1)^2\ge0$$
Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik większy lub równy \(0\), to dowód możemy uznać za zakończony.
Czemu przy mnożeniu przez x zmieniamy także znak większości?
Bo zakładamy, że x jest ujemny, a mnożąc/dzieląc nierówność przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak nierówności na przeciwny :)
A gdzie jest 6x w ostatnim rozwiązaniu?
Wzory skróconego mnożenia!
(3x+1)^2 to jest 9x^2+6x+1, a nie 9x^2+1 ;)