Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność 4x+1/x≥4

Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(4x+\frac{1}{x}\ge4\).

Rozwiązanie

Aby udowodnić prawdziwość tej nierówności musimy przekształcić naszą nierówność. Na początku na pewno chcielibyśmy pomnożyć obie strony przez \(x\), ale przy nierównościach trzeba być ostrożnym, bowiem mnożąc przez liczby ujemne trzeba zmienić znak nierówności. My wiemy, że \(x\) jest dodatni, zatem możemy śmiało wymnażać, bez zmiany znaku:
$$4x+\frac{1}{x}\ge4 \quad\bigg/\cdot x\\
4x^2+1\ge4x \\
4x^2-4x+1\ge0 \\
(2x-1)^2\ge0$$

Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do potęgi drugiej daje wynik większy lub równy zero, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.

Odpowiedź

Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Dodaj komentarz