Twierdzenie Talesa

W temacie podobieństwa figur bardzo często korzystać będziemy z twierdzenia Talesa, które opisuje zależności między poszczególnymi długościami odcinków. Sprawdźmy zatem jak to twierdzenie wygląda, gdzie możemy się z nim spotkać i jak z niego korzystać w zadaniach z geometrii.

Twierdzenie Talesa – wzór
Twierdzenie Talesa głosi, że jeśli dany kąt zostanie przecięty przez dwie proste równoległe, to długości odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odcinków wyznaczonych na drugim ramieniu. Aby to dobrze zrozumieć, spójrzmy na rysunek, na którym mamy narysowany kąt oraz dwie niebieskie proste, które są względem siebie równoległe:
twierdzenie talesa

Bazując na powyższych oznaczeniach moglibyśmy zapisać, że zgodnie z twierdzeniem Talesa:
$$\frac{x}{y}=\frac{a}{b}$$

Zapisany powyżej wzór jest punktem wyjścia do rozpisywania kolejnych zależności. Równie dobrze moglibyśmy zapisać, że:
$$\frac{x}{y}=\frac{x+a}{y+b} \\
\frac{a}{b}=\frac{x+a}{y+b} \\
\frac{x}{a}=\frac{y}{b}$$

Jakby tego było mało, bazując na twierdzeniu Talesa możemy też omówić sytuację, w której kluczową rolę pełnią odcinki łączące ramiona kąta. Oznaczmy te odcinki jako \(c\) oraz \(d\):
twierdzenie talesa

Zgodnie z oznaczeniami zapisalibyśmy, że:
$$\frac{x}{c}=\frac{x+a}{d} \\
\frac{c}{d}=\frac{x}{x+a}$$

Twierdzenie Talesa możemy też rozbudować o sytuacje, w której dwie proste równoległe przechodzą przez dwie proste przecinające się:
twierdzenie talesa

Bazując na oznaczeniach, moglibyśmy zapisać, że:
$$\frac{a}{b}=\frac{d}{c}$$

Sprawdźmy teraz wykorzystanie twierdzenia Talesa w praktyce.

Przykład 1. Oblicz długość odcinka \(x\), wiedząc że proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe.
twierdzenie talesa

Rozwiązanie:
Korzystając z twierdzenia Talesa, możemy ułożyć następującą proporcję:
$$\frac{12}{15}=\frac{x}{10}$$

Teraz mnożąc na krzyż, otrzymamy:
$$12\cdot10=15\cdot x \\
120=15x \\
x=8$$

Przykład 2. Oblicz długość odcinka \(x\), wiedząc że proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe.
twierdzenie talesa

Rozwiązanie:
Tym razem pasowałoby nam ułożenie następującej proporcji:
$$\frac{4,2}{7,7}=\frac{x}{7,7+2,2} \\
\frac{4,2}{7,7}=\frac{x}{9,9}$$

Mnożąc na krzyż, otrzymamy:
$$4,2\cdot9,9=7,7\cdot x\\
41,58=7,7\cdot x \\
x=5,4$$

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa
Za pomocą twierdzenia Talesa pokazaliśmy sobie, że jeżeli dwie proste równoległe przetną ramiona pewnego kąta, to odpowiednie długości boków są względem siebie proporcjonalne. Możemy jednak na to spojrzeć z drugiej strony – jeżeli ramiona kąta są przecięte przez jakieś dwie proste (nie wiadomo czy są one równoległe), a odpowiednie długości boków są względem siebie proporcjonalne, to będzie to dowód na to, że te dwie proste na pewno są względem siebie równoległe. Mówiąc bardzo obrazowo, jeśli musimy udowodnić, że dwie proste są względem siebie równoległe, to wystarczy sprawdzić czy zajdzie równanie znane z twierdzenia Talesa.

Przykład 3. Wykaż, że proste \(k\) oraz \(m\) są nachylone do prostej \(a\) pod tym samym kątem.
twierdzenie talesa

Rozwiązanie:
Jeżeli proste są nachylone pod tym samym kątem, to muszą być względem siebie równoległe. Można więc powiedzieć, że to zadanie równie dobrze mogłoby brzmieć: „Wykaż, że proste \(k\) oraz \(m\) są względem siebie równoległe”.

Jak wykazać równoległość takich prostych? Wystarczy sprawdzić, czy między poszczególnymi odcinkami zajdą proporcje znane z twierdzenia Talesa – jeśli tak, to proste będą równoległe względem siebie. W naszym przypadku zapisalibyśmy, że:
$$\frac{3}{6}=\frac{3+3+3}{6+4+8} \\
\frac{3}{6}=\frac{9}{18} \\
\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \\
L=P$$

Lewa i prawa strona równania są sobie równe, a to oznacza, że faktycznie proste \(k\) oraz \(m\) są względem siebie równoległe, czyli tym samym przecinają prostą \(a\) pod tym samym kątem.

Tak na marginesie, moglibyśmy też pokazać, że prosta \(l\) nie jest nachylona do prostej \(a\) pod tym samym kątem co prosta \(k\) (czyli że nie są to proste równoległe). Korzystając z twierdzenia Talesa zapisalibyśmy, że:
$$\frac{3}{6}=\frac{3+3}{6+4} \\
\frac{3}{6}=\frac{6}{10} \\
\frac{1}{2}=\frac{2}{5} \\
L\neq P$$

Lewa strona nie jest równa stronie prawej, czyli proste \(k\) oraz \(l\) nie są względem siebie równoległe.

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments